Seja u = u(t) a temperatura no instante t de um corpo imerso em um meio de temperatura constante um. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de u é diretamente proporcional à diferença u - um_m, isto é, du/dt = -k(u - um). Considere um corpo aquecido a 120 graus C é posto em um ambiente a 30 graus C e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de 90°C.
Em quanto tempo será atingida a temperatura de 45 graus C ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de resfriamento usando a Lei do Resfriamento de Newton. Temos um corpo aquecido a colocado em um ambiente com temperatura constante de . Sabemos que em 5 minutos a temperatura do corpo cai para . Queremos descobrir em quanto tempo a temperatura do corpo atingirá .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei do Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente . A equação é:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar , usamos a condição inicial. No tempo , a temperatura . Substituindo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Simplificando a equação, temos:
Exponentiando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 90:
E isolando :

Passo 6

Agora, usamos a informação de que após 5 minutos, :
Subtraindo 30 de ambos os lados:
Dividindo por 90:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :
Calculando:

Passo 7

Agora, queremos encontrar o tempo quando . Usamos a equação:
Subtraindo 30:
Dividindo por 90:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Resposta

A temperatura do corpo atingirá aproximadamente em 22 minutos.

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