Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Em quanto tempo será atingida a temperatura de
?
Em quanto tempo será atingida a temperatura de
Passo 1
Vamos resolver um problema de resfriamento usando a Lei do Resfriamento de Newton. Temos um corpo aquecido a
colocado em um ambiente com temperatura constante de
. Sabemos que em 5 minutos a temperatura do corpo cai para
. Queremos descobrir em quanto tempo a temperatura do corpo atingirá
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei do Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo
e a temperatura do ambiente
. A equação é:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a condição inicial. No tempo
, a temperatura
. Substituindo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Simplificando a equação, temos:
Exponentiando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 90:
E isolando
:
Passo 6
Agora, usamos a informação de que após 5 minutos,
:
Subtraindo 30 de ambos os lados:
Dividindo por 90:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Calculando:
Passo 7
Agora, queremos encontrar o tempo
quando
. Usamos a equação:
Subtraindo 30:
Dividindo por 90:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Resposta
A temperatura do corpo atingirá
aproximadamente em 22 minutos.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Encontre a solução geral das seguintes equações:
A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala.
Encontre a porcentagem de na sala depois de 10 min .
Encontre a porcentagem de
Considere as seguintes funções
e
para resolver o seguinte sistema:
Solução:
e