A concentração de moléculas na atmosfera a uma altitude de 2500 km está em torno de 1 molécula / cm^3. (a) Supondo que o diâmetro das moléculas é 2,0 times 10^28 cm, determine o livre caminho médio previsto pela Eq. 19-25. (b) Explique se o valor calculado tem significado físico.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre a concentração de moléculas na atmosfera a uma altitude de 2500 km, que é de 1 molécula por centímetro cúbico. O que precisamos fazer é calcular o “livre caminho médio” das moléculas usando a equação 19-25, e depois discutir o significado físico desse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o livre caminho médio e como usar a fórmula correspondente, além de usar a informação do diâmetro das moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o livre caminho médio. Ele representa a distância média que uma molécula percorre antes de colidir com outra. Para calcular isso, usamos a fórmula:
lambda = 1raiz2 cdot n cdot sigma
Onde:
  • é o livre caminho médio.
  • é a concentração de moléculas (1 molécula/cm³).
  • é a seção de choque, que depende do diâmetro das moléculas.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a seção de choque sigma = pi cdot d^2 . Ela é dada por:
Onde é o diâmetro das moléculas. Segundo o enunciado, cm (vamos considerar que provavelmente houve um erro de digitação e o diâmetro é cm, pois cm seria extremamente grande e irrealista para o diâmetro de moléculas).

Passo 4

Substituindo o valor de sigma = pi cdot (2,0 times 10^-8, cm)^2 = pi cdot 4,0 times 10^-16, cm^2 approx 1,26 times 10^-15, cm^2 na fórmula da seção de choque:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do livre caminho médio:
lambda = 1raiz2 cdot n cdot sigma = 1raiz2 cdot 1, molécula/cm^3 cdot 1,26 times 10^-15, cm^2 é
Calculando o denominador:
raiz2 approx 1,414 1,414 cdot 1 cdot 1,26 times 10^-15 approx 1,78 times 10^-15
Então:
lambda = 11,78 times 10^-15 approx 5,62 times 10^14, cm

Passo 6

Agora, na parte (b), precisamos explicar se esse valor tem significado físico. Um livre caminho médio tão grande indica que as moléculas raramente colidem umas com as outras nessa altitude específica. Isso é consistente com a ideia de que, em altitudes elevadas, a densidade atmosférica é muito baixa, tornando as colisões entre moléculas infrequentes.

Resposta

(a) O livre caminho médio das moléculas a uma altitude de 2500 km é aproximadamente cm.
(b) Esse valor indica que as moléculas percorrem grandes distâncias antes de colidir, o que faz sentido já que a densidade na atmosfera a essa altitude é extremamente baixa.

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