Existe um número real que é exatamente uma unidade a mais do que o seu cubo? (Em caso de resposta afirmativa, forneça-o com três casas decimais de precisão.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um número real que seja exatamente uma unidade maior do que o seu próprio cubo. Em outras palavras, estamos procurando um número
que satisfaça a equação:
Para resolver isso, vamos precisar manipular essa equação e usar alguns métodos matemáticos para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a resolução:
Essa é uma equação cúbica, e resolver equações desse tipo pode ser um pouco complicado. Geralmente, usamos métodos numéricos, como o método de Newton-Raphson, para encontrar soluções aproximadas quando não conseguimos resolver a equação exatamente.
Passo 3
Vamos analisar a função associada a essa equação para entender melhor onde pode estar a raiz (o valor de
que estamos procurando):
Vamos calcular alguns valores de
para ver onde a função muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz.
-
Para
: -
Para
:
Vemos que
e
. Como a função mudou de negativa para positiva entre
e
, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos usar o método de Newton-Raphson para aproximar o valor de
. Esse método usa uma fórmula iterativa que nos aproxima da raiz:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Vamos escolher um valor inicial próximo à raiz que identificamos. Vamos tentar com
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
-
Primeira iteração (
): -
Segunda iteração (
): -
Terceira iteração (
):
Após três iterações, já estamos bem próximos da raiz com
.
Resposta
Sim, existe um número real que é exatamente uma unidade maior do que o seu cubo. Aproximadamente, esse número é: