Existe um número real que é exatamente uma unidade a mais do que o seu cubo? (Em caso de resposta afirmativa, forneça-o com três casas decimais de precisão.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um número real que seja exatamente uma unidade maior do que o seu próprio cubo. Em outras palavras, estamos procurando um número que satisfaça a equação:
Para resolver isso, vamos precisar manipular essa equação e usar alguns métodos matemáticos para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a resolução:
Essa é uma equação cúbica, e resolver equações desse tipo pode ser um pouco complicado. Geralmente, usamos métodos numéricos, como o método de Newton-Raphson, para encontrar soluções aproximadas quando não conseguimos resolver a equação exatamente.

Passo 3

Vamos analisar a função associada a essa equação para entender melhor onde pode estar a raiz (o valor de que estamos procurando):
Vamos calcular alguns valores de para ver onde a função muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz.
  • Para :
  • Para :
Vemos que e . Como a função mudou de negativa para positiva entre e , sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos usar o método de Newton-Raphson para aproximar o valor de . Esse método usa uma fórmula iterativa que nos aproxima da raiz:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de :
Vamos escolher um valor inicial próximo à raiz que identificamos. Vamos tentar com .

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
  1. Primeira iteração ( ):
  2. Segunda iteração ( ):
  3. Terceira iteração ( ):
Após três iterações, já estamos bem próximos da raiz com .

Resposta

Sim, existe um número real que é exatamente uma unidade maior do que o seu cubo. Aproximadamente, esse número é:

Exercícios relacionados