A equação seguinte é exata em todo o plano XY. Determine a solucão explícita y(x) :
(x^2 y^3 - 1/(1 + 9 x^2)) dx + x^3 y^2 dy = 0, x in (0, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é exata no plano XY. A equação que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Precisamos encontrar uma função tal que , ou seja, a derivada total igual a zero. Para isso, vamos integrar os termos da equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos que multiplicam e , que chamamos de e respectivamente. Aqui:
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a para encontrar .
Vamos integrar termo por termo:
Primeiro, :
Segundo, :
Aqui, usamos a fórmula de integração para , onde .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando a outra condição de exatidão. Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Então, a função potencial completa é:
Como , temos que:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução explícita da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante real.

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