A equação seguinte é exata em todo o plano XY. Determine a solucão explícita
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é exata no plano XY. A equação que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Precisamos encontrar uma função
tal que
, ou seja, a derivada total igual a zero. Para isso, vamos integrar os termos da equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos que multiplicam
e
, que chamamos de
e
respectivamente. Aqui:
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Passo 3
Vamos começar integrando
em relação a
para encontrar
.
Vamos integrar termo por termo:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Aqui, usamos a fórmula de integração para
, onde
.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
usando a outra condição de exatidão. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 5
Então, a função potencial completa é:
Como
, temos que:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução explícita da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante real.