Conclua que se é tal que , então é semelhante a matriz , onde é o posto de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se temos uma matriz de ordem sobre um campo que satisfaz (ou seja, é idempotente), então ela é semelhante a uma matriz bloco que tem uma identidade de ordem e blocos de zeros, onde é o posto de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, e a decomposição de uma matriz em blocos.
Passo 2
Primeiro, observe que significa que é idempotente. Isso implica que os únicos possíveis autovalores de são 0 e 1. Por quê? Porque se é um autovalor de , temos:
Aplicando novamente:
Mas como , também temos:
Então:
Passo 3
Agora, sabendo que os autovalores são 0 e 1, podemos diagonalizar se ela tiver uma base de autovetores. Isso significa que existe uma matriz invertível tal que:
onde é uma matriz diagonal com 0’s e 1’s na diagonal. Cada 1 corresponde a um autovalor 1 e cada 0 a um autovalor 0.
Passo 4
O número de 1’s na diagonal de corresponde ao posto de , que chamaremos de . Isso porque o posto de é a dimensão da imagem de , que é exatamente o espaço próprio associado ao autovalor 1.
Então, a matriz terá a forma:
onde é a matriz identidade de ordem e é a matriz nula de ordem .
Passo 5
Portanto, concluímos que é semelhante à matriz , ou seja: