Conclua que se
é tal que
, então
é semelhante a matriz
, onde
é o posto de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se temos uma matriz
de ordem
sobre um campo
que satisfaz
(ou seja, é idempotente), então ela é semelhante a uma matriz bloco que tem uma identidade de ordem
e blocos de zeros, onde
é o posto de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, e a decomposição de uma matriz em blocos.
Passo 2
Primeiro, observe que
significa que
é idempotente. Isso implica que os únicos possíveis autovalores de
são 0 e 1. Por quê? Porque se
é um autovalor de
, temos:
Aplicando
novamente:
Mas como
, também temos:
Então:
Passo 3
Agora, sabendo que os autovalores são 0 e 1, podemos diagonalizar
se ela tiver uma base de autovetores. Isso significa que existe uma matriz invertível
tal que:
onde
é uma matriz diagonal com 0’s e 1’s na diagonal. Cada 1 corresponde a um autovalor 1 e cada 0 a um autovalor 0.
Passo 4
O número de 1’s na diagonal de
corresponde ao posto de
, que chamaremos de
. Isso porque o posto de
é a dimensão da imagem de
, que é exatamente o espaço próprio associado ao autovalor 1.
Então, a matriz
terá a forma:
onde
é a matriz identidade de ordem
e
é a matriz nula de ordem
.
Passo 5
Portanto, concluímos que
é semelhante à matriz
, ou seja:
Resposta
Se
satisfazendo
, então
é semelhante à matriz
onde
é o posto de
.