Conclua que se A in Mn(K) é tal que A^2=A, então A é semelhante a matriz [ccIk & 0k, n-k 0n-k, k & 0n-k], onde k é o posto de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se temos uma matriz de ordem sobre um campo que satisfaz (ou seja, é idempotente), então ela é semelhante a uma matriz bloco que tem uma identidade de ordem e blocos de zeros, onde é o posto de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, e a decomposição de uma matriz em blocos.

Passo 2

Primeiro, observe que A v = lambda v significa que A^2 v = A (lambda v) = lambda A v = lambda^2 v é idempotente. Isso implica que os únicos possíveis autovalores de A^2 v = A v = lambda v são 0 e 1. Por quê? Porque se lambda^2 v = lambda v implies lambda^2 = lambda implies lambda (lambda - 1) = 0 implies lambda = 0 ou lambda = 1 é um autovalor de , temos:
Aplicando novamente:
Mas como , também temos:
Então:

Passo 3

Agora, sabendo que os autovalores são 0 e 1, podemos diagonalizar P^-1 A P = D se ela tiver uma base de autovetores. Isso significa que existe uma matriz invertível tal que:
onde é uma matriz diagonal com 0’s e 1’s na diagonal. Cada 1 corresponde a um autovalor 1 e cada 0 a um autovalor 0.

Passo 4

O número de 1’s na diagonal de D = Ik & 0 0 & 0n-k corresponde ao posto de , que chamaremos de . Isso porque o posto de é a dimensão da imagem de , que é exatamente o espaço próprio associado ao autovalor 1.
Então, a matriz terá a forma:
onde é a matriz identidade de ordem e é a matriz nula de ordem .

Passo 5

Portanto, concluímos que A sim Ik & 0 0 & 0n-k é semelhante à matriz , ou seja:

Resposta

Se Ik & 0k, n-k 0n-k, k & 0n-k satisfazendo , então é semelhante à matriz
onde é o posto de .

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