Mostre que: se V tem produto interno e U=W^perp, então para todo v in V, p(v) é a projeção ortogonal de v em W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se temos um espaço vetorial com produto interno e é o complementar ortogonal de (ou seja, ), então para todo vetor em , a projeção de em é a projeção ortogonal. Isso está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente sobre projeções ortogonais em espaços com produto interno. Para resolver, vamos precisar entender o que são subespaços ortogonais, projeções e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial , um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores um número real (ou complexo) , satisfazendo certas propriedades como linearidade, simetria e positividade. Esse produto interno permite definir conceitos de ângulo, perpendicularidade e, claro, projeções.

Passo 3

Agora, denota o complementar ortogonal de em , ou seja, o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de . Quando dizemos que , estamos estabelecendo essa relação de ortogonalidade entre os subespaços.

Passo 4

A projeção ortogonal de um vetor em é o vetor que é “mais próximo” de em termos do produto interno. Formalmente, é tal que está em . Ou seja, a diferença entre e sua projeção é perpendicular a todos os vetores de .

Passo 5

Para provar que é realmente a projeção ortogonal, precisamos mostrar que pertence a . Sabemos que , então se conseguirmos mostrar que , estaremos provando o que queremos.

Passo 6

Como , qualquer vetor em é perpendicular a todos os vetores em . Portanto, se , isso implica que é perpendicular a todo , ou seja, para todo .

Passo 7

De acordo com a definição de projeção ortogonal, deve satisfazer exatamente essa condição de perpendicularidade. Portanto, ao mostrar que , comprovamos que é a projeção ortogonal de em .

Resposta

Assim, demonstramos que se tem produto interno e , então para todo , é de fato a projeção ortogonal de em .

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