Mostre que: se
tem produto interno e
, então para todo
é a projeção ortogonal de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se temos um espaço vetorial
com produto interno e
é o complementar ortogonal de
(ou seja,
), então para todo vetor
em
, a projeção
de
em
é a projeção ortogonal. Isso está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente sobre projeções ortogonais em espaços com produto interno. Para resolver, vamos precisar entender o que são subespaços ortogonais, projeções e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em um espaço vetorial
, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores
um número real (ou complexo)
, satisfazendo certas propriedades como linearidade, simetria e positividade. Esse produto interno permite definir conceitos de ângulo, perpendicularidade e, claro, projeções.
Passo 3
Agora,
denota o complementar ortogonal de
em
, ou seja, o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores de
. Quando dizemos que
, estamos estabelecendo essa relação de ortogonalidade entre os subespaços.
Passo 4
A projeção ortogonal de um vetor
em
é o vetor
que é “mais próximo” de
em termos do produto interno. Formalmente,
é tal que
está em
. Ou seja, a diferença entre
e sua projeção é perpendicular a todos os vetores de
.
Passo 5
Para provar que
é realmente a projeção ortogonal, precisamos mostrar que
pertence a
. Sabemos que
, então se conseguirmos mostrar que
, estaremos provando o que queremos.
Passo 6
Como
, qualquer vetor em
é perpendicular a todos os vetores em
. Portanto, se
, isso implica que
é perpendicular a todo
, ou seja,
para todo
.
Passo 7
De acordo com a definição de projeção ortogonal,
deve satisfazer exatamente essa condição de perpendicularidade. Portanto, ao mostrar que
, comprovamos que
é a projeção ortogonal de
em
.
Resposta
Assim, demonstramos que se
tem produto interno e
, então para todo
,
é de fato a projeção ortogonal de
em
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Conclua que se
é tal que
, então
é semelhante a matriz
, onde
é o posto de
.
Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
, demonstre que
Multiplicando os binômios
, obtemos:
A. o trinômio .
B. o binômio .
C. o binômio .
D. o binômio .
E. o trinômio .
A. o trinômio
B. o binômio
C. o binômio
D. o binômio
E. o trinômio