Mostre que V=ker p oplus Im p.

Passo 1

Então, temos que mostrar que o espaço vetorial é a soma direta do núcleo de com a imagem de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: núcleo ( ) e imagem ( ) de uma transformação linear . Além disso, vamos usar a ideia de soma direta de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo e a imagem de . O núcleo de , , é o conjunto de todos os vetores em tal que . Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum em .

Passo 3

Agora, para mostrar que , precisamos verificar duas coisas:
  1. Todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em .
  2. A interseção entre e é apenas o vetor zero.

Passo 4

Vamos começar mostrando que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e . Vamos definir . Como está na imagem de , pois foi gerado por , temos .

Passo 5

Agora, definimos p(u) = p(v - p(v)) = p(v) - p(p(v)) = p(v) - p(v) = 0 . Vamos verificar se está no núcleo de :
Portanto, .

Passo 6

Assim, todo vetor pode ser escrito como a soma de e , ou seja, .

Passo 7

Agora, precisamos mostrar que a única interseção entre e é o vetor zero. Suponha que exista um vetor que pertence a ambas as subespaços. Então, implica que , e implica que existe algum tal que .

Passo 8

Substituindo, temos p(p(u)) = p(v) = 0 e . Aplicando em ambos os lados de , obtemos:
Se for idempotente, ou seja, , então , o que implica .

Passo 9

Portanto, a única solução é , o que mostra que .

Resposta

Concluímos que , ou seja, todo vetor em pode ser único e exclusivamente decomposto na soma de um vetor do núcleo de e um vetor da imagem de .

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