Mostre que
.
Passo 1
Então, temos que mostrar que o espaço vetorial
é a soma direta do núcleo de
com a imagem de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: núcleo (
) e imagem (
) de uma transformação linear
. Além disso, vamos usar a ideia de soma direta de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo e a imagem de
. O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. Já a imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum
em
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
, precisamos verificar duas coisas:
- Todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em . - A interseção entre
e é apenas o vetor zero.
Passo 4
Vamos começar mostrando que qualquer vetor
em
pode ser escrito como
, onde
e
. Vamos definir
. Como
está na imagem de
, pois foi gerado por
, temos
.
Passo 5
Agora, definimos
. Vamos verificar se
está no núcleo de
:
Portanto,
.
Passo 6
Assim, todo vetor
pode ser escrito como a soma de
e
, ou seja,
.
Passo 7
Agora, precisamos mostrar que a única interseção entre
e
é o vetor zero. Suponha que exista um vetor
que pertence a ambas as subespaços. Então,
implica que
, e
implica que existe algum
tal que
.
Passo 8
Substituindo, temos
e
. Aplicando
em ambos os lados de
, obtemos:
Se
for idempotente, ou seja,
, então
, o que implica
.
Passo 9
Portanto, a única solução é
, o que mostra que
.
Resposta
Concluímos que
, ou seja, todo vetor em
pode ser único e exclusivamente decomposto na soma de um vetor do núcleo de
e um vetor da imagem de
.