Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.
cx+2 y-z=2 2 x-y+z=3 x+y+z=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente tem três equações com três incógnitas (x, y e z). Para isso, vamos precisar calcular alguns determinantes de matrizes. A Regra de Cramer é uma técnica bacana para resolver sistemas lineares quando a quantidade de equações é a mesma que a de incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das variáveis. No nosso caso, a matriz fica assim:
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1 1 & 1 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz, chamado de determinante principal (Δ).

Passo 3

Para calcular o determinante Δ da matriz A:
Δ = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1 1 & 1 & 1
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, temos:
Δ = 1 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Δ = 1 cdot (-1 - 1) - 2 cdot (2 - 1) + (-1) cdot (2 + 1)
Δ = 1 cdot (-2) - 2 cdot (1) + (-1) cdot (3)
Δ = -2 - 2 - 3 = -7

Passo 4

Agora, vamos encontrar os determinantes para x (Δx), y (Δy) e z (Δz) substituindo as colunas correspondentes pelos termos independentes (lado direito das equações, que são 2, 3 e 6).
Para Δx, substituímos a primeira coluna por (2, 3, 6):
Δx = 2 & 2 & -1 3 & -1 & 1 6 & 1 & 1
Calculando Δx:
Δx = 2 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 1) - 2 cdot (3 cdot 1 - 6 cdot 1) + (-1) cdot (3 cdot 1 - (-1) cdot 6)
Δx = 2 cdot (-1 - 1) - 2 cdot (3 - 6) + (-1) cdot (3 + 6)
Δx = 2 cdot (-2) - 2 cdot (-3) + (-1) cdot 9
Δx = -4 + 6 - 9 = -7
Para Δy, substituímos a segunda coluna por (2, 3, 6):
Δy = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 1 & 6 & 1
Calculando Δy:
Δy = 1 cdot (3 cdot 1 - 1 cdot 6) - 2 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot 6 - 3 cdot 1)
Δy = 1 cdot (3 - 6) - 2 cdot (2 - 1) + (-1) cdot (12 - 3)
Δy = 1 cdot (-3) - 2 cdot (1) + (-1) cdot 9
Δy = -3 - 2 - 9 = -14
Para Δz, substituímos a terceira coluna por (2, 3, 6):
Δz = 1 & 2 & 2 2 & -1 & 3 1 & 1 & 6
Calculando Δz:
Δz = 1 cdot (-1 cdot 6 - 3 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot 6 - 3 cdot 1) + 2 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Δz = 1 cdot (-6 - 3) - 2 cdot (12 - 3) + 2 cdot (2 + 1)
Δz = 1 cdot (-9) - 2 cdot 9 + 2 cdot 3
Δz = -9 - 18 + 6 = -21

Passo 5

Agora que temos Δ, Δx, Δy e Δz, podemos encontrar os valores de x, y e z usando a Regra de Cramer:
x = ΔxΔ = -7-7 = 1
y = ΔyΔ = -14-7 = 2
z = ΔzΔ = -21-7 = 3

Resposta

, e .

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