Qual a condição de k para que a equação x^2+y^2-4 x+2 y+k-3=0 seja uma circunferência?

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação e precisa descobrir qual valor de faz com que essa equação represente uma circunferência. Isso está relacionado com a geometria analítica, onde a gente identifica a forma geral da equação de uma circunferência e verifica as condições necessárias, como ter um raio real e positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x^2 - 4x + y^2 + 2y + k - 3 = 0 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-42)^2 = 4 . Pegamos o coeficiente de (x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 + 2y + k - 3 = 0 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de (22)^2 = 1 . O coeficiente de (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 4 - 1 + k - 3 = 0 é 2:
Adicionamos e subtraímos 1 na equação:

Passo 5

Simplificando os termos constantes:
-4 - 1 - 3 = -8
A equação fica então:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 8 + k = 0

Passo 6

Isolamos os termos quadráticos para identificar a forma padrão da circunferência:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 8 - k

Passo 7

Para que essa equação seja de uma circunferência, o lado direito precisa ser positivo, já que ele representa o raio ao quadrado:
8 - k > 0

Passo 8

Resolvendo a desigualdade:
k < 8

Resposta

A condição para é .

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