Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^3 :
(1,1,1),(1,0,1),(1,2,1).

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo: precisamos descobrir se o conjunto de vetores (1,1,1), (1,0,1), (1,2,1) é uma base para o espaço R^3. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, trabalhar com a ideia de vetores linearmente independentes e usar determinantes para facilitar a verificação.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma base de R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Uma maneira prática de verificar se três vetores são linearmente independentes é calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores dados como colunas:
1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 1 & 1
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1)
Simplificando:
det = 1 cdot (-2) - 1 cdot (-1) + 1 cdot 1 = -2 + 1 + 1 = 0

Resposta

Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, o conjunto (1,1,1), (1,0,1), (1,2,1) não é uma base de R^3.

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