Determine a equação reduzida da elipse onde:
Os focos são F1=(1,3), F2=(5,3) e o eixo maior tem comprimento 6 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre elipses! A gente sabe que os focos são os pontos especiais da elipse e que o comprimento do eixo maior também é importante. Pra resolver, vamos precisar usar conhecimentos básicos de geometria analítica sobre elipses, como a fórmula padrão e a relação entre os parâmetros da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro fica exatamente no meio entre os dois focos. Então, vamos calcular a média das coordenadas dos focos h = 1 + 52 = 3 e k = 3 + 32 = 3 .
Então, o centro da elipse é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é 2c = raiz(5-1)^2 + (3-3)^2 = raiz16 = 4 na fórmula da elipse. Calculamos a distância usando a fórmula da distância entre dois pontos:
c = 2

Passo 4

Sabemos que o comprimento do eixo maior é 6, o que significa que a = 3 , então:

Passo 5

Agora, usamos a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , 2^2 = 3^2 - b^2 e 4 = 9 - b^2 na elipse:
b^2 = 9 - 4 = 5

Passo 6

Com todos os valores encontrados ( (x - 3)^29 + (y - 3)^25 = 1 , , , e ), podemos montar a equação reduzida da elipse na forma padrão:

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x - 3)^29 + (y - 3)^25 = 1

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