Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R^2 : (1,0),(0,3),(2,5).

Passo 1

Então, temos o conjunto (1,0), (0,3), (2,5) e queremos saber quais desses conjuntos formam uma base para R^2. Uma base de R^2 precisa ter exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes. Vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como verificar isso usando determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é vetores linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. Se os vetores são múltiplos um do outro, eles são linearmente dependentes e não podem formar uma base.

Passo 3

Vamos analisar os pares de vetores no conjunto dado:
  1. (1,0) e (0,3)
  2. (1,0) e (2,5)
  3. (0,3) e (2,5)

Passo 4

Para cada par, vamos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Primeiro Par: (1,0) e (0,3)
Montamos a matriz:
1 & 0 0 & 3
Calculamos o determinante:
det = (1)(3) - (0)(0) = 3 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, esses vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Passo 6

Segundo Par: (1,0) e (2,5)
Montamos a matriz:
1 & 2 0 & 5
Calculamos o determinante:
det = (1)(5) - (2)(0) = 5 neq 0
Novamente, o determinante é diferente de zero, então esses vetores também são linearmente independentes e formam uma base.

Passo 7

Terceiro Par: (0,3) e (2,5)
Montamos a matriz:
0 & 2 3 & 5
Calculamos o determinante:
det = (0)(5) - (2)(3) = -6 neq 0
Mais uma vez, o determinante é diferente de zero, indicando que esses vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Resposta

Todos os pares de vetores (1,0), (0,3), (1,0), (2,5) e (0,3), (2,5) são bases de R^2.

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