Determine m tal que rho(A)=2, onde A=(ccc1 & m & -1 2 & m & 2 m -1 & 2 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de tal que o raio espectral da matriz seja igual a 2. O raio espectral ( ) é o maior valor absoluto dos autovalores da matriz. Então, precisamos encontrar de forma que o maior autovalor de seja 2. Vamos precisar calcular os autovalores da matriz para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os autovalores de uma matriz são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Nesse caso, queremos que um dos autovalores seja 2, então vamos substituir por 2 na equação característica.

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - 2I = 1-2 & m & -1 2 & m-2 & 2m -1 & 2 & 1-2 = -1 & m & -1 2 & m-2 & 2m -1 & 2 & -1 de ordem 3 é:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - 2I) = 0 e igualar a zero:
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(A - 2I) = -1 cdot ( (m-2)(-1) - 2m cdot 2 ) - m cdot ( 2 cdot (-1) - (-1) cdot 2m ) + (-1) cdot ( 2 cdot 2 - (m-2) cdot (-1) )
Simplificando cada termo:
= -1 cdot ( -m + 2 - 4m ) - m cdot ( -2 + 2m ) -1 cdot ( 4 + m - 2 )
= -1 cdot (-5m + 2) - m cdot (2m - 2) -1 cdot (m + 2)
= 5m - 2 -2m^2 + 2m - m - 2
= (5m + 2m - m) - 2m^2 - 2 - 2
= 6m - 2m^2 - 4
= -2m^2 + 6m - 4

Passo 6

Igualando o determinante a zero:
-2m^2 + 6m - 4 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2:
m^2 - 3m + 2 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática (m - 1)(m - 2) = 0 . Podemos fatorar:
m = 1 ou m = 2
Então, as soluções são:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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