Qual a condição sobre para que exista a matriz inversa da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir qual valor de faz com que a matriz tenha uma matriz inversa. Isso entra na matéria de Álgebra Linear, mais especificamente em matrizes e determinantes. Pra ter uma matriz inversa, o determinante da matriz precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de e ver para quais valores de ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é meio extensa, mas ela envolve multiplicar e subtrair os produtos dos elementos da matriz. Para a nossa matriz , o determinante fica assim:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão passo a passo: Distribuindo os sinais: Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 4

Para a matriz ter inversa, o determinante precisa ser diferente de zero: Vamos resolver essa inequação. Primeiro, podemos fatorar o polinômio: Testando possíveis raízes, encontramos que é uma raiz. Então, fatorando: Agora, vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara: Então, as soluções são e .

Passo 5

Isso significa que o determinante é zero quando ou . Portanto, para a matriz ter uma inversa, **não** pode ser nem 1 nem .

Resposta

Para que a matriz tenha uma inversa, o valor de deve ser diferente de e de . Ou seja, e .

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