Qual a condição sobre para que exista a matriz inversa da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir qual valor de 1 & a & a a & 1 & a a & a & 1 faz com que a matriz tenha uma matriz inversa. Isso entra na matéria de Álgebra Linear, mais especificamente em matrizes e determinantes. Pra ter uma matriz inversa, o determinante da matriz precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de e ver para quais valores de ele não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é meio extensa, mas ela envolve multiplicar e subtrair os produtos dos elementos da matriz. Para a nossa matriz det(M) = 1 cdot (1 cdot 1 - a cdot a) - a cdot (a cdot 1 - a cdot a) + a cdot (a cdot a - 1 cdot a) , o determinante fica assim:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
det(M) = 1 cdot (1 - a^2) - a cdot (a - a^2) + a cdot (a^2 - a)
Distribuindo os sinais:
det(M) = 1 - a^2 - a^2 + a^3 + a^3 - a^2
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
det(M) = 1 - 3a^2 + 2a^3
Passo 4
Para a matriz 1 - 3a^2 + 2a^3 neq 0 ter inversa, o determinante precisa ser diferente de zero:
2a^3 - 3a^2 + 1 neq 0
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, podemos fatorar o polinômio:
(a - 1)(2a^2 - a - 1) neq 0
Testando possíveis raízes, encontramos que a = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34 é uma raiz. Então, fatorando:
Agora, vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .
Passo 5
Isso significa que o determinante é zero quando ou . Portanto, para a matriz ter uma inversa, não pode ser nem 1 nem .
Resposta
Para que a matriz tenha uma inversa, o valor de deve ser diferente de e de . Ou seja, e .