Qual a condição sobre para que exista a matriz inversa da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir qual valor de faz com que a matriz tenha uma matriz inversa. Isso entra na matéria de Álgebra Linear, mais especificamente em matrizes e determinantes. Pra ter uma matriz inversa, o determinante da matriz precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de e ver para quais valores de ele não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é meio extensa, mas ela envolve multiplicar e subtrair os produtos dos elementos da matriz. Para a nossa matriz , o determinante fica assim:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Distribuindo os sinais:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 4
Para a matriz ter inversa, o determinante precisa ser diferente de zero:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, podemos fatorar o polinômio:
Testando possíveis raízes, encontramos que é uma raiz. Então, fatorando:
Agora, vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .
Passo 5
Isso significa que o determinante é zero quando ou . Portanto, para a matriz ter uma inversa, **não** pode ser nem 1 nem .
Resposta
Para que a matriz tenha uma inversa, o valor de deve ser diferente de e de . Ou seja, e .