Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores de a matriz é invertível. O que significa uma matriz ser invertível? Basicamente, uma matriz quadrada é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos usar a teoria dos determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & a & -a a & 2 & a -1 & a & a . A matriz dada é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores para ficar mais claro.
Passo 3
Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det(A) = 2 cdot det2 & a a & a - a cdot deta & a -1 & a + (-a) cdot deta & 2 -1 & a
Agora, vamos calcular cada um desses determinantes de 2x2:
2 & a a & a
a & a -1 & a
a & 2 -1 & a
Passo 4
Substituindo esses resultados na expressão original do determinante:
det(A) = 2(2a - a^2) - a(a^2 + a) + (-a)(a^2 + 2)
Vamos simplificar passo a passo:
= 4a - 2a^2 - a^3 - a^2 - a^3 - 2a
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Termos de det(A) = -2a^3 - 3a^2 + 2a :
Termos de :
Termos de :
Então, o determinante fica:
Passo 5
Para que a matriz -2a^3 - 3a^2 + 2a neq 0 seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
a(-2a^2 - 3a + 2) neq 0
Vamos fatorar essa expressão:
-2a^2 - 3a + 2 = 0
Agora, vamos resolver a equação quadrática dentro do parênteses:
2a^2 + 3a - 2 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
a = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm 54
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = 24 = 12 e a = -84 = -2
Então, as soluções são:
Resposta
A matriz a neq 0, a neq 12, a neq -2 é invertível para todos os valores de exceto quando , ou . Ou seja, a condição é: