Qual é a condição sobre a para que a matriz
A=(ccc 2 & a & -a a & 2 & a -1 & a & a )
seja invertível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores de a matriz é invertível. O que significa uma matriz ser invertível? Basicamente, uma matriz quadrada é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos usar a teoria dos determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & a & -a a & 2 & a -1 & a & a . A matriz dada é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores para ficar mais claro.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det(A) = 2 cdot det2 & a a & a - a cdot deta & a -1 & a + (-a) cdot deta & 2 -1 & a
Agora, vamos calcular cada um desses determinantes de 2x2:
  1. 2 & a a & a
  2. a & a -1 & a
  3. a & 2 -1 & a

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão original do determinante:
det(A) = 2(2a - a^2) - a(a^2 + a) + (-a)(a^2 + 2)
Vamos simplificar passo a passo:
= 4a - 2a^2 - a^3 - a^2 - a^3 - 2a
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de det(A) = -2a^3 - 3a^2 + 2a :
  • Termos de :
  • Termos de :
Então, o determinante fica:

Passo 5

Para que a matriz -2a^3 - 3a^2 + 2a neq 0 seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
a(-2a^2 - 3a + 2) neq 0
Vamos fatorar essa expressão:
-2a^2 - 3a + 2 = 0
Agora, vamos resolver a equação quadrática dentro do parênteses:
2a^2 + 3a - 2 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
a = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm 54
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = 24 = 12 e a = -84 = -2
Então, as soluções são:

Resposta

A matriz a neq 0, a neq 12, a neq -2 é invertível para todos os valores de exceto quando , ou . Ou seja, a condição é:

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Mostre que a matriz real
A=(ccc 2 & 0 & 0 a+b & 2 & 0 b+c & c+d & 2 )
é invertível para todo a, b, c, d in R e calcule sua inversa.
Seja A a matriz
[ll 2 & 0 4 & 1 ]
Em cada parte, calcule a quantidade dada. p(A), onde p(x)=x-2
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n tais que det A=-1, det B=-2 e det C=3. Calcule det(A^t B^2(C^-1)^t).
Verifique se a matriz A dada por
A=(ccc 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 )
é ortogonal.