Verifique se a matriz A dada por
A=(ccc 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 )
é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz é ortogonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Precisamos verificar se a matriz multiplicada pela sua transposta resulta na matriz identidade. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz A^T A = I é ortogonal se a sua transposta multiplicada por dá a matriz identidade , ou seja:
A matriz identidade é aquela que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta da matriz A= 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas pelas colunas. Então, para A^T= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 :
A transposta será:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar A^T A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 por A^T A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então, a matriz fica:

Passo 5

Finalmente, vamos comparar I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 com a matriz identidade :
Como podemos ver, . Isso significa que a matriz satisfaz a condição para ser ortogonal.

Resposta

Sim, a matriz é ortogonal.

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