Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n tais que det A=-1, det B=-2 e det C=3. Calcule det(A^t B^2(C^-1)^t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três matrizes quadradas , e de ordem . Sabemos os determinantes dessas matrizes: , e . A questão quer que a gente calcule o determinante da expressão .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos determinantes:
  1. Determinante da transposta:
  2. Determinante de uma potência:
  3. Determinante da inversa:
  4. Determinante de um produto de matrizes:

Passo 2

Vamos começar aplicando a propriedade do determinante da transposta para det(A^t) = det(A) = -1 :

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do determinante de uma potência para det(B^2) = (det B)^2 = (-2)^2 = 4 :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o determinante de det((C^-1)^t) = det(C^-1) = 1det C = 13 . Primeiro, usamos a propriedade da transposta:

Passo 5

Agora, juntamos tudo usando a propriedade do determinante de um produto de matrizes:
det(A^t B^2 (C^-1)^t) = det(A^t) cdot det(B^2) cdot det((C^-1)^t) = (-1) cdot 4 cdot 13

Resposta

det(A^t B^2 (C^-1)^t) = -43

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