Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n tais que det A=-1, det B=-2 e det C=3. Calcule det(A^t B^2(C^-1)^t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três matrizes quadradas , e de ordem . Sabemos os determinantes dessas matrizes: , e . A questão quer que a gente calcule o determinante da expressão .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos determinantes:
  1. Determinante da transposta:
  2. Determinante de uma potência:
  3. Determinante da inversa:
  4. Determinante de um produto de matrizes:

Passo 2

Vamos começar aplicando a propriedade do determinante da transposta para det(A^t) = det(A) = -1 :

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do determinante de uma potência para det(B^2) = (det B)^2 = (-2)^2 = 4 :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o determinante de det((C^-1)^t) = det(C^-1) = 1det C = 13 . Primeiro, usamos a propriedade da transposta:

Passo 5

Agora, juntamos tudo usando a propriedade do determinante de um produto de matrizes:
det(A^t B^2 (C^-1)^t) = det(A^t) cdot det(B^2) cdot det((C^-1)^t) = (-1) cdot 4 cdot 13

Resposta

det(A^t B^2 (C^-1)^t) = -43

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Qual é a condição sobre a para que a matriz
A=(ccc 2 & a & -a a & 2 & a -1 & a & a )
seja invertível?
Mostre que a matriz real
A=(ccc 2 & 0 & 0 a+b & 2 & 0 b+c & c+d & 2 )
é invertível para todo a, b, c, d in R e calcule sua inversa.
Verifique se a matriz A dada por
A=(ccc 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 )
é ortogonal.
Considere a matriz
A=(lll a & b & c d & e & f g & h & i )
tal que det(A)=4. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
a) (llld & e & f g & h & i a & b & c).
b) (ccc-a & -b & -c 2 d & 2 e & 2 f -g & -h & -i).
c) (ccca & b & c d-3 a & e-3 b & f-3 c 2 g & 2 h & 2 i).