é invertível para todo a, b, c, d in R e calcule sua inversa.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que a matriz real
A = 2 & 0 & 0 a+b & 2 & 0 b+c & c+d & 2
é invertível para quaisquer números reais e também calcular a sua inversa. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
A matriz det(A) = 2 times 2 times 2 = 8 é uma matriz triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
Como , a matriz é invertível para quaisquer valores reais de .
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 12 & 0 & 0 -a+b4 & 12 & 0 (a+b)(c+d) - (b+c) cdot 28 & -c+d4 & 12 , denotada por A^-1 = 12 & 0 & 0 -a+b4 & 12 & 0 (a+b)(c+d) - 2(b+c)8 & -c+d4 & 12 . Como é triangular inferior e com elementos diagonais iguais a 2, a inversa também será triangular inferior.
Vamos construir da seguinte forma:
Simplificando os termos:
O primeiro elemento da diagonal principal é .
O segundo elemento abaixo da diagonal principal é .
O terceiro elemento abaixo da diagonal principal é .
O quarto elemento abaixo da diagonal principal é .
Portanto, a matriz inversa fica:
Resposta
A matriz A^-1 = 12 & 0 & 0 -a+b4 & 12 & 0 (a+b)(c+d) - 2(b+c)8 & -c+d4 & 12 é invertível para quaisquer números reais , e a sua inversa é dada por