Mostre que a matriz real
A=(ccc 2 & 0 & 0 a+b & 2 & 0 b+c & c+d & 2 )
é invertível para todo a, b, c, d in R e calcule sua inversa.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que a matriz real
A = 2 & 0 & 0 a+b & 2 & 0 b+c & c+d & 2
é invertível para quaisquer números reais e também calcular a sua inversa. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

A matriz det(A) = 2 times 2 times 2 = 8 é uma matriz triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
Como , a matriz é invertível para quaisquer valores reais de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 12 & 0 & 0 -a+b4 & 12 & 0 (a+b)(c+d) - (b+c) cdot 28 & -c+d4 & 12 , denotada por A^-1 = 12 & 0 & 0 -a+b4 & 12 & 0 (a+b)(c+d) - 2(b+c)8 & -c+d4 & 12 . Como é triangular inferior e com elementos diagonais iguais a 2, a inversa também será triangular inferior.
Vamos construir da seguinte forma:
Simplificando os termos:
  • O primeiro elemento da diagonal principal é .
  • O segundo elemento abaixo da diagonal principal é .
  • O terceiro elemento abaixo da diagonal principal é .
  • O quarto elemento abaixo da diagonal principal é .
Portanto, a matriz inversa fica:

Resposta

A matriz A^-1 = 12 & 0 & 0 -a+b4 & 12 & 0 (a+b)(c+d) - 2(b+c)8 & -c+d4 & 12 é invertível para quaisquer números reais , e a sua inversa é dada por

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