Qual é uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é: “Qual é uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável?”. Estamos falando de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e quais condições garantem isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto. Em termos simples, isso significa que a função tem uma reta tangente bem definida naquele ponto, sem “quebras” ou “picos”.
Passo 3
Agora, vamos à condição suficiente. Uma condição que garante que uma função seja diferenciável é que ela seja continua no ponto e que suas derivadas parciais existam e sejam contínuas naquele ponto. Em outras palavras:
- Continuidade: A função não tem saltos ou buracos no ponto.
- Derivadas Parciais Contínuas: As taxas de variação da função em todas as direções existem e mudam de forma suave perto do ponto.
Quando essas duas condições são atendidas, podemos garantir que a função é diferenciável naquele ponto.
Resposta
Uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável é que ela seja contínua no ponto e tenha derivadas parciais que existam e sejam contínuas naquele ponto.
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
. Expresse
em termos de
e
.
(1,5 ponto) Calcule a integral dupla
(2,5 pontos) Uma empresa que fabrica peças para bicicletas estima que sua produção mensal
depende da quantidade de alumínio
(em quilos) utilizado na fabricação das peças e do número de funcionários
de acordo com a seguinte função de Cobb-Douglas:
O custo do alumínio usado para a confecção das peças é de R$40,00 por quilo e o custo mensal por cada funcionário é de
. Sabendo que o custo mensal da produção deve ser de
, determine quantos quilos de alumínio devem ser utilizados e quantos funcionários a empresa deve ter para que a produção mensal de peças seja a maior possível.