Qual é uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é: “Qual é uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável?”. Estamos falando de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e quais condições garantem isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto. Em termos simples, isso significa que a função tem uma reta tangente bem definida naquele ponto, sem “quebras” ou “picos”.

Passo 3

Agora, vamos à condição suficiente. Uma condição que garante que uma função seja diferenciável é que ela seja continua no ponto e que suas derivadas parciais existam e sejam contínuas naquele ponto. Em outras palavras:
  • Continuidade: A função não tem saltos ou buracos no ponto.
  • Derivadas Parciais Contínuas: As taxas de variação da função em todas as direções existem e mudam de forma suave perto do ponto.
Quando essas duas condições são atendidas, podemos garantir que a função é diferenciável naquele ponto.

Resposta

Uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável é que ela seja contínua no ponto e tenha derivadas parciais que existam e sejam contínuas naquele ponto.

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