(1,5 ponto) Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! O problema pede para calcular a integral dupla:
Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente a técnica de integração por substituição. Vamos por partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Vamos considerar
como uma constante nessa parte. A integral interna é:
Passo 3
Para integrar essa expressão, vamos usar a substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos na integral:
Os limites de integração também mudam quando fazemos a substituição:
- Quando
, - Quando
,
Passo 5
Integrando
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Podemos separar as duas integrais:
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas integrais usando outra substituição. Para a primeira integral, definimos:
Os limites mudam para
de 2 a 3.
A integral fica:
Passo 8
Fazendo o mesmo para a segunda integral, onde
:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
O valor da integral dupla é:
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