(1,5 ponto) Calcule a integral dupla integral0^1 integral0^1 x y(x^2+y^2+1)^1 / 2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! O problema pede para calcular a integral dupla:
integral0^1 integral0^1 x y raizx^2 + y^2 + 1 , dy , dx
Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente a técnica de integração por substituição. Vamos por partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 x y raizx^2 + y^2 + 1 , dy . Vamos considerar como uma constante nessa parte. A integral interna é:

Passo 3

Para integrar essa expressão, vamos usar a substituição. Vamos definir:
u = x^2 + y^2 + 1
Então, a derivada de dudy = 2y Rightarrow y , dy = du2 em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
integral x y raizu , dy = x cdot integral raizu cdot du2 = x2 integral u^1/2 , du
Os limites de integração também mudam quando fazemos a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 5

Integrando x2 cdot [ 23 u^3/2 ]x^2+1^x^2+2 = x3 [ (x^2 + 2)^3/2 - (x^2 + 1)^3/2 ] :

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 x3 [ (x^2 + 2)^3/2 - (x^2 + 1)^3/2 ] dx de 0 a 1:
13 ( integral0^1 x (x^2 + 2)^3/2 , dx - integral0^1 x (x^2 + 1)^3/2 , dx )
Podemos separar as duas integrais:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais usando outra substituição. Para a primeira integral, definimos:
v = x^2 + 2 Rightarrow dv = 2x , dx Rightarrow x , dx = dv2
Os limites mudam para integral2^3 v^3/2 cdot dv2 = 12 cdot 25 v^5/2 |2^3 = 15 ( 3^5/2 - 2^5/2 ) de 2 a 3.
A integral fica:

Passo 8

Fazendo o mesmo para a segunda integral, onde integral1^2 v^3/2 cdot dv2 = 12 cdot 25 v^5/2 |1^2 = 15 ( 2^5/2 - 1^5/2 ) :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão original:
13 ( 15 ( 3^5/2 - 2^5/2 ) - 15 ( 2^5/2 - 1^5/2 ) ) = 115 ( 3^5/2 - 2 cdot 2^5/2 + 1 )

Resposta

O valor da integral dupla é:
9 raiz3 - 8 raiz2 + 115

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