(2,5 pontos) Uma empresa que fabrica peças para bicicletas estima que sua produção mensal depende da quantidade de alumínio (em quilos) utilizado na fabricação das peças e do número de funcionários de acordo com a seguinte função de Cobb-Douglas:
O custo do alumínio usado para a confecção das peças é de R$40,00 por quilo e o custo mensal por cada funcionário é de . Sabendo que o custo mensal da produção deve ser de , determine quantos quilos de alumínio devem ser utilizados e quantos funcionários a empresa deve ter para que a produção mensal de peças seja a maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa fabrica peças para bicicletas e quer saber quantos quilos de alumínio ( ) e quantos funcionários ( ) ela deve usar para maximizar a produção mensal ( ). A produção depende de e pela função de Cobb-Douglas:
Além disso, temos um custo total fixo de R$80.000, que é gasto com o alumínio e os salários dos funcionários. Precisamos usar esse orçamento da melhor forma possível para produzir o máximo de peças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • Custo do alumínio: R$40 por quilo.
  • Custo por funcionário: R$3.200 por mês.
  • Custo total: R$80.000 por mês.
Então, a restrição de custo pode ser expressa assim:

Passo 3

Nosso objetivo é maximizar a produção sujeito à restrição de custo .
Para resolver isso, vamos usar o método de otimização com restrição, também conhecido como multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar o máximo ou mínimo de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 4

Primeiro, vamos rearranjar a restrição de custo para uma das variáveis. Vamos resolver para :

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de na função de produção :
Nosso objetivo é maximizar em relação a .

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Vamos calcular a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 7

Calculando a derivada:
Igualando a zero:

Passo 8

Para simplificar, podemos dividir os dois termos por :
Simplificando:

Passo 9

Agora que encontramos quilos, vamos encontrar o número de funcionários usando a equação da restrição de custo:

Resposta

A empresa deve utilizar 1.200 quilos de alumínio e ter 10 funcionários para que a produção mensal de peças seja a maior possível dentro do orçamento de R$80.000,00.

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