(2,5 pontos) Uma empresa que fabrica peças para bicicletas estima que sua produção mensal
depende da quantidade de alumínio
(em quilos) utilizado na fabricação das peças e do número de funcionários
de acordo com a seguinte função de Cobb-Douglas:
O custo do alumínio usado para a confecção das peças é de R$40,00 por quilo e o custo mensal por cada funcionário é de
. Sabendo que o custo mensal da produção deve ser de
, determine quantos quilos de alumínio devem ser utilizados e quantos funcionários a empresa deve ter para que a produção mensal de peças seja a maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa fabrica peças para bicicletas e quer saber quantos quilos de alumínio (
) e quantos funcionários (
) ela deve usar para maximizar a produção mensal (
). A produção depende de
e
pela função de Cobb-Douglas:
Além disso, temos um custo total fixo de R$80.000, que é gasto com o alumínio e os salários dos funcionários. Precisamos usar esse orçamento da melhor forma possível para produzir o máximo de peças.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
- Custo do alumínio: R$40 por quilo.
- Custo por funcionário: R$3.200 por mês.
- Custo total: R$80.000 por mês.
Então, a restrição de custo pode ser expressa assim:
Passo 3
Nosso objetivo é maximizar a produção
sujeito à restrição de custo
.
Para resolver isso, vamos usar o método de otimização com restrição, também conhecido como multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar o máximo ou mínimo de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 4
Primeiro, vamos rearranjar a restrição de custo para uma das variáveis. Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão de
na função de produção
:
Nosso objetivo é maximizar
em relação a
.
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Vamos calcular a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 7
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Passo 8
Para simplificar, podemos dividir os dois termos por
:
Simplificando:
Passo 9
Agora que encontramos
quilos, vamos encontrar o número de funcionários
usando a equação da restrição de custo:
Resposta
A empresa deve utilizar 1.200 quilos de alumínio e ter 10 funcionários para que a produção mensal de peças seja a maior possível dentro do orçamento de R$80.000,00.
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3.
Determine os valores de
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).
a)
(d)
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a)