Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de
em relação a
, onde
, com
e
. Vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Por isso, para achar
, precisamos considerar como
muda em relação a
e
, e como
e
mudam em relação a
.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que:
Ou seja, a derivada total de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada variável multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 5
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão:
Passo 9
Observamos que
, então o denominador fica:
E no numerador, os termos se anulam:
Resposta
Portanto, a derivada
é igual a zero:
Exercícios relacionados
A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
. Expresse
em termos de
e
.
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
sent e
cost
Qual é uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável?
(1,5 ponto) Calcule a integral dupla