Utilize a regra da cadeia para calcular sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada de em relação a , onde , com e . Vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de . Por isso, para achar , precisamos considerar como muda em relação a e , e como e mudam em relação a .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que:
Ou seja, a derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a cada variável multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 9

Observamos que , então o denominador fica:
E no numerador, os termos se anulam:

Resposta

Portanto, a derivada é igual a zero:

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