A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
. Expresse
em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada
. Isso envolve derivação implícita, que é usada quando y está misturado com x na equação. Vamos precisar aplicar as regras de derivação e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar termo a termo:
- Derivada de
: usamos a regra da cadeia. Ficamos com . - Derivada de
: aqui usamos a regra do produto. Ficamos com . - Derivada de
: isso é direto, fica . - Derivada de 3: uma constante, a derivada é 0.
Passo 4
Depois de derivar, a equação fica:
Agora, vamos juntar os termos que têm
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar
, dividimos ambos os lados pela
:
Ou simplificando:
Resposta
A derivada
em termos de x e y é:
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
sent e
cost
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto (1,1).
Utilize a regra da cadeia para calcular
sendo
Qual é uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável?