A função diferenciável y = y(x) é dada implicitamente pela equação y^3 + x*y + x^3 = 3. Expresse d/y d/x em termos de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada . Isso envolve derivação implícita, que é usada quando y está misturado com x na equação. Vamos precisar aplicar as regras de derivação e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  • Derivada de : usamos a regra da cadeia. Ficamos com .
  • Derivada de x y: aqui usamos a regra do produto. Ficamos com .
  • Derivada de x^3: isso é direto, fica .
  • Derivada de 3: uma constante, a derivada é 0.

Passo 4

Depois de derivar, a equação fica:
Agora, vamos juntar os termos que têm :

Passo 5

Finalmente, para encontrar , dividimos ambos os lados pela :
Ou simplificando:

Resposta

A derivada em termos de x e y é:

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