Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge. . (a sequência converge para e a série diverge.)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Precisamos verificar se a sequência converge ou diverge e, além disso, determinar se a série também converge ou diverge. A sequência é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e critérios de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para verificar se ela converge, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 3

Para encontrar o limite de quando vai para o infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Dividindo numerador e denominador por :
Portanto, a sequência converge para .

Passo 4

Agora, vamos analisar a série . Para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o Teste da divergência.

Passo 5

O Teste da divergência afirma que se o limite de quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge. Já calculamos que:
Como o limite não é zero, pelo teste, a série diverge.

Resposta

A sequência converge para e a série diverge.

Exercícios relacionados

A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
d)
Mostrar que a seguinte sequência é uma PA
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica .
Escreva a P.G. cuja razão é e a soma dos cinco primeiros termos é 422.