Determine se a sequência ann in N converge ou diverge e se a série sumn=1^infty an converge ou diverge. an=2 n3 n+1. (a sequência converge para 23 e a série diverge.)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Precisamos verificar se a sequência converge ou diverge e, além disso, determinar se a série também converge ou diverge. A sequência é definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e critérios de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para verificar se ela converge, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 3

Para encontrar o limite de limn to infty 2n3n + 1 quando limn to infty 23 + 1n = 23 + 0 = 23 vai para o infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Dividindo numerador e denominador por :
Portanto, a sequência converge para .

Passo 4

Agora, vamos analisar a série . Para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o Teste da divergência.

Passo 5

O Teste da divergência afirma que se o limite de limn to infty an = 23 neq 0 quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge. Já calculamos que:
Como o limite não é zero, pelo teste, a série diverge.

Resposta

A sequência converge para e a série diverge.

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