Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para
e a série diverge.)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Precisamos verificar se a sequência
converge ou diverge e, além disso, determinar se a série
também converge ou diverge. A sequência é definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e critérios de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para verificar se ela converge, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para encontrar o limite de
quando
vai para o infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador:
Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto, a sequência
converge para
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série
. Para determinar se essa série converge ou diverge, podemos usar o Teste da divergência.
Passo 5
O Teste da divergência afirma que se o limite de
quando
tende ao infinito não for zero, então a série
diverge. Já calculamos que:
Como o limite não é zero, pelo teste, a série
diverge.
Resposta
A sequência
converge para
e a série
diverge.