Quais condições devem satisfazer b1, b2 e b3 para garantir que o sistema de equações
x1+2 x2+3 x3 & =b1 2 x1+5 x2+3 x3 & =b2 x1+8 x3 & =b3
seja consistente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas x1 + 2x2 + 3x3 &= b1 2x1 + 5x2 + 3x3 &= b2 x1 + 8x3 &= b3 e . As equações são:
O objetivo aqui é descobrir quais condições os valores e precisam satisfazer para que esse sistema tenha pelo menos uma solução, ou seja, seja consistente. Para isso, vamos usar a Regra de Cramer e analisar o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8
E o vetor dos termos constantes:
b = b1 b2 b3

Passo 3

Para saber se o sistema é consistente, precisamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (5 cdot 8 - 3 cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 8 - 3 cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 0 - 5 cdot 1) . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se as equações são compatíveis ou não.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (40 - 0) - 2 cdot (16 - 3) + 3 cdot (0 - 5) :
det(A) = 40 - 2 cdot 13 + 3 cdot (-5)
Vamos resolver isso passo a passo:
det(A) = 40 - 26 - 15 = -1
Como , a matriz é invertível, o que significa que o sistema tem uma única solução para qualquer valor de e .

Passo 4

Portanto, não há restrições nos valores de e para que o sistema seja consistente. Ou seja, qualquer tripla vai garantir que o sistema tenha pelo menos uma solução.

Resposta

Qualquer valores de e tornam o sistema consistente. Ou seja, não há restrições para que o sistema seja consistente.

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