Suponha que seja uma série absolutamente convergente e que . Defina . Prove que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma série que é absolutamente convergente, ou seja, a soma dos valores absolutos também converge. Além disso, sabemos que o limite de quando vai para o infinito é zero, ou seja, . O que precisamos provar é que o limite de , definido como , também tende a zero quando vai para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar propriedades de séries absolutamente convergentes e taxas de convergência dos termos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, como a série é absolutamente convergente, sabemos que a soma é finita. Isso nos dá uma garantia importante: os termos não crescem demais e, na verdade, se comportam de forma controlada.
Passo 3
Agora, observamos que é uma soma de produtos de com . Podemos reescrever da seguinte forma:
Queremos analisar o comportamento de conforme cresce.
Passo 4
Sabemos que . Isso significa que, para fixo e grande, também tende a zero, já que tende a infinito.
Passo 5
Vamos então estimar o valor absoluto de :
Aqui usamos a desigualdade triangular, que nos permite passar o módulo para dentro da soma.
Passo 6
Como converge, podemos chamar sua soma total de , ou seja, . Então temos:
Isso porque cada é no máximo o maior valor de para de 1 a .
Passo 7
Como , o máximo também tende a zero conforme cresce. Portanto, o produto tende a zero.
Passo 8
Finalmente, pela desigualdade que encontramos, temos que está limitado por algo que tende a zero. Assim, pelo teorema do sanduíche (teorema da pinça), concluímos que: