Suponha que sumn=1^+infty an seja uma série absolutamente convergente e que lim n infty(bn)=0. Defina cn:=a1 bn+a2 bn-1+ldots+an b1. Prove que lim n infty(cn)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma série sumn=1^+infty an que é absolutamente convergente, ou seja, a soma dos valores absolutos sumn=1^+infty |an| também converge. Além disso, sabemos que o limite de bn quando n vai para o infinito é zero, ou seja, limn infty bn = 0. O que precisamos provar é que o limite de cn, definido como cn = a1 bn + a2 bn-1 + ldots + an b1, também tende a zero quando n vai para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar propriedades de séries absolutamente convergentes e taxas de convergência dos termos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, como a série sumn=1^+infty an é absolutamente convergente, sabemos que a soma sumn=1^+infty |an| é finita. Isso nos dá uma garantia importante: os termos an não crescem demais e, na verdade, se comportam de forma controlada.

Passo 3

Agora, observamos que cn é uma soma de produtos de ak com bn - k +1. Podemos reescrever cn da seguinte forma:
cn = sumk=1^n ak bn - k +1
Queremos analisar o comportamento de cn conforme n cresce.

Passo 4

Sabemos que limn infty bn = 0. Isso significa que, para k fixo e n grande, bn - k +1 também tende a zero, já que n - k +1 tende a infinito.

Passo 5

Vamos então estimar o valor absoluto de cn:
|cn| = | sumk=1^n ak bn - k +1 | <= sumk=1^n |ak| cdot |bn - k +1|
Aqui usamos a desigualdade triangular, que nos permite passar o módulo para dentro da soma.

Passo 6

Como sumk=1^+infty |ak| converge, podemos chamar sua soma total de A, ou seja, A = sumk=1^+infty |ak|. Então temos:
|cn| <= A cdot max1 <= k <= n |bk|
Isso porque cada |bn - k +1| é no máximo o maior valor de |bk| para k de 1 a n.

Passo 7

Como limn infty bn = 0, o máximo max1 <= k <= n |bk| também tende a zero conforme n cresce. Portanto, o produto A cdot max1 <= k <= n |bk| tende a zero.

Passo 8

Finalmente, pela desigualdade que encontramos, temos que |cn| está limitado por algo que tende a zero. Assim, pelo teorema do sanduíche (teorema da pinça), concluímos que:
limn infty cn = 0

Resposta

lim n infty(cn)=0

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