Use o critério de comparação para provar que
sumn=1^+infty 1n^2
é convergente, a partir da convergência da série telescópica
sumn=1^+infty 2n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é provar que a série converge, usando o critério de comparação. Para isso, vamos comparar com uma série que já sabemos que converge, que nesse caso é a série telescópica . Vamos precisar entender como funciona o critério de comparação e aplicar ele direitinho aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério de comparação. Ele diz que se temos duas séries e com para todo grande o suficiente, e se converge, então também converge. Então, nossa estratégia é mostrar que os termos de são menores ou iguais aos termos da série telescópica .

Passo 3

Vamos comparar os termos 2n(n+1) = 2n^2 + n e 2n(n+1) = 2n^2 + n >= 2n^2 + n^2 = 22n^2 = 1n^2 . Primeiro, simplificando a expressão da série telescópica:
Agora, vamos ver se :
Então, temos que para todo .

Passo 4

Como já sabemos que a série é convergente (ela é telescópica e sua soma tende a um limite finito), e como mostramos que cada termo de é menor ou igual aos termos correspondentes da série conhecida que converge, podemos aplicar o critério de comparação.

Resposta

Portanto, pela comparação com a série telescópica , concluímos que a série também é convergente.

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