Use o critério de comparação para provar que
é convergente, a partir da convergência da série telescópica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é provar que a série
converge, usando o critério de comparação. Para isso, vamos comparar com uma série que já sabemos que converge, que nesse caso é a série telescópica
. Vamos precisar entender como funciona o critério de comparação e aplicar ele direitinho aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o critério de comparação. Ele diz que se temos duas séries
e
com
para todo
grande o suficiente, e se
converge, então
também converge. Então, nossa estratégia é mostrar que os termos de
são menores ou iguais aos termos da série telescópica
.
Passo 3
Vamos comparar os termos
e
. Primeiro, simplificando a expressão da série telescópica:
Agora, vamos ver se
:
Então, temos que
para todo
.
Passo 4
Como já sabemos que a série
é convergente (ela é telescópica e sua soma tende a um limite finito), e como mostramos que cada termo de
é menor ou igual aos termos correspondentes da série conhecida que converge, podemos aplicar o critério de comparação.
Resposta
Portanto, pela comparação com a série telescópica
, concluímos que a série
também é convergente.
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é convergente.