Use o Critério de Cauchy para Séries para mostrar que a série
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série converge usando o Critério de Cauchy para Séries. Isso envolve entender séries infinitas e como testar se elas somam para algum número finito. Vamos precisar usar o fato de que o seno é limitado e a comparação com outra série conhecida que converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série que estamos analisando: . Cada termo dessa série é .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o valor absoluto de cada termo da série: . Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .
Passo 4
Usando isso, podemos dizer que . Isso simplifica nossa análise porque agora temos uma comparação direta entre os termos da nossa série original e os termos da série .
Passo 5
A série é uma série p onde . Sabemos que séries p convergem quando , então essa série específica converge.
Passo 6
Agora, aplicando o Critério de Cauchy para comparação de séries: se para todo e converge, então a série também converge.
Resposta
Portanto, usando o Critério de Cauchy para Séries, mostramos que a série é convergente.