Use o Critério de Cauchy para Séries para mostrar que a série
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série converge usando o Critério de Cauchy para Séries. Isso envolve entender séries infinitas e como testar se elas somam para algum número finito. Vamos precisar usar o fato de que o seno é limitado e a comparação com outra série conhecida que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série que estamos analisando: . Cada termo dessa série é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o valor absoluto de cada termo da série: . Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .

Passo 4

Usando isso, podemos dizer que . Isso simplifica nossa análise porque agora temos uma comparação direta entre os termos da nossa série original e os termos da série .

Passo 5

A série é uma série p onde . Sabemos que séries p convergem quando , então essa série específica converge.

Passo 6

Agora, aplicando o Critério de Cauchy para comparação de séries: se para todo e converge, então a série também converge.

Resposta

Portanto, usando o Critério de Cauchy para Séries, mostramos que a série é convergente.

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Use o critério de comparação para provar que
é convergente, a partir da convergência da série telescópica
Suponha que seja uma série absolutamente convergente e que . Defina . Prove que .
Determine se a série é convergente ou divergente: