Encontre condições sobre e c de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos condições sobre os números , e de forma que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso envolve o conteúdo de combinações lineares e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema que relacione , e com os coeficientes das combinações de e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Um vetor é combinação linear de e se existir escalares e tais que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos desenvolver essa equação componente por componente. Multiplicando os vetores pelos escalares:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar condições para , e , ou seja, relacionar essas três equações de forma a eliminar e . Podemos resolver o sistema usando, por exemplo, o método da substituição ou da combinação. Vamos usar a substituição.
Passo 5
Primeiro, da primeira equação, podemos expressar k = a - 2l em termos de e :
Agora, substituímos nas outras duas equações.
Passo 6
Substituindo b = -3(a - 2l) - l = -3a + 6l - l = -3a + 5l na segunda equação:
c = 2(a - 2l) + l = 2a - 4l + l = 2a - 3l
E na terceira equação:
Passo 7
Agora temos duas equações com duas incógnitas ( c = 2a - 3l Rightarrow 3l = 2a - c Rightarrow l = 2a - c3 e b = -3a + 5(2a - c3) = -3a + 10a - 5c3 = -9a + 10a - 5c3 = a - 5c3 ). Podemos resolver para a partir de uma das equações e substituir na outra.
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na equação para :
Passo 8
Chegamos a uma relação entre b = a - 5c3 , e :
Essa é a condição que deve ser satisfeita para que seja uma combinação linear de e .
Resposta
A condição para que o vetor b = a - 5c3 seja combinação linear de e é: