Encontre condições sobre a, b e c de modo que o vetor w=(a, b, c) seja combinação linear de u=(1,-3,2) e v=(2,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos condições sobre os números , e de forma que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso envolve o conteúdo de combinações lineares e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema que relacione , e com os coeficientes das combinações de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Um vetor w = ku + lv é combinação linear de (a, b, c) = k(1, -3, 2) + l(2, -1, 1) e se existir escalares e tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos desenvolver essa equação componente por componente. Multiplicando os vetores pelos escalares:
(a, b, c) = (k cdot 1 + l cdot 2,; k cdot (-3) + l cdot (-1),; k cdot 2 + l cdot 1)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a = k + 2l b = -3k - l c = 2k + l

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar condições para , e , ou seja, relacionar essas três equações de forma a eliminar e . Podemos resolver o sistema usando, por exemplo, o método da substituição ou da combinação. Vamos usar a substituição.

Passo 5

Primeiro, da primeira equação, podemos expressar k = a - 2l em termos de e :
Agora, substituímos nas outras duas equações.

Passo 6

Substituindo b = -3(a - 2l) - l = -3a + 6l - l = -3a + 5l na segunda equação:
c = 2(a - 2l) + l = 2a - 4l + l = 2a - 3l
E na terceira equação:

Passo 7

Agora temos duas equações com duas incógnitas ( c = 2a - 3l Rightarrow 3l = 2a - c Rightarrow l = 2a - c3 e b = -3a + 5(2a - c3) = -3a + 10a - 5c3 = -9a + 10a - 5c3 = a - 5c3 ). Podemos resolver para a partir de uma das equações e substituir na outra.
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na equação para :

Passo 8

Chegamos a uma relação entre b = a - 5c3 , e :
Essa é a condição que deve ser satisfeita para que seja uma combinação linear de e .

Resposta

A condição para que o vetor b = a - 5c3 seja combinação linear de e é:

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b) (ccc2 & 1 & 1 4 & 1 & -2 0 & 3 & 1)
Obter o operador linear T: R^2 R^2 que tem autovalores iguais a -2 e 3 associados aos autovetores v=(2,-1) e u=(0,3), respectivamente.
Que condições devem satisfazer os vetores u e v para que sejam válidas as seguintes relações:
(a) |u+v|=|u-v|
(b) |u+v|>|u-v|
© |u+v|<|u-v|.