Obter o operador linear T: R^2 R^2 que tem autovalores iguais a -2 e 3 associados aos autovetores v=(2,-1) e u=(0,3), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que tem dois autovalores: -2 e 3. Cada um desses autovalores está associado a um autovetor, que são e , respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear em A v = lambda v pode ser representado por uma matriz 2x2. Nosso objetivo é encontrar essa matriz A u = mu u que satisfaz as seguintes condições:
Onde e são os autovalores correspondentes aos autovetores e , respectivamente.

Passo 3

Vamos escrever essas equações de forma mais explícita. Primeiro, para A 2 -1 = -2 2 -1 = -4 2 :
A 0 3 = 3 0 3 = 0 9
E para :

Passo 4

Vamos chamar a matriz A = a & b c & d de:
a & b c & d 2 -1 = 2a - b 2c - d = -4 2
Agora, multiplicamos 2a - b = -4 (1) pelos autovetores e igualamos aos resultados que encontramos:
Para 2c - d = 2 (2) :
a & b c & d 0 3 = 3b 3d = 0 9
O que nos dá as equações:
3b = 0 (3)
3d = 9 (4)
E para :
Isso nos dá:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da equação (3):
3b = 0 Rightarrow b = 0
Agora, da equação (4):
3d = 9 Rightarrow d = 3
Com 2a - 0 = -4 Rightarrow 2a = -4 Rightarrow a = -2 , voltamos para a equação (1):
2c - 3 = 2 Rightarrow 2c = 5 Rightarrow c = 52
E com , usamos a equação (2):

Passo 6

Agora que temos todos os valores de A = -2 & 0 52 & 3 e , podemos montar a matriz :

Resposta

O operador linear T = -2 & 0 52 & 3 é representado pela matriz:

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