Obter o operador linear que tem autovalores iguais a -2 e 3 associados aos autovetores e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que tem dois autovalores: -2 e 3. Cada um desses autovalores está associado a um autovetor, que são e , respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear em pode ser representado por uma matriz 2x2. Nosso objetivo é encontrar essa matriz que satisfaz as seguintes condições:
Onde e são os autovalores correspondentes aos autovetores e , respectivamente.
Passo 3
Vamos escrever essas equações de forma mais explícita. Primeiro, para :
E para :
Passo 4
Vamos chamar a matriz de:
Agora, multiplicamos pelos autovetores e igualamos aos resultados que encontramos:
Para :
O que nos dá as equações:
E para :
Isso nos dá:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da equação (3):
Agora, da equação (4):
Com , voltamos para a equação (1):
E com , usamos a equação (2):
Passo 6
Agora que temos todos os valores de e , podemos montar a matriz :