Obter o operador linear
que tem autovalores iguais a -2 e 3 associados aos autovetores
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear
que tem dois autovalores: -2 e 3. Cada um desses autovalores está associado a um autovetor, que são
e
, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear em
pode ser representado por uma matriz 2x2. Nosso objetivo é encontrar essa matriz
que satisfaz as seguintes condições:
Onde
e
são os autovalores correspondentes aos autovetores
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos escrever essas equações de forma mais explícita. Primeiro, para
:
E para
:
Passo 4
Vamos chamar a matriz
de:
Agora, multiplicamos
pelos autovetores e igualamos aos resultados que encontramos:
Para
:
O que nos dá as equações:
E para
:
Isso nos dá:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da equação (3):
Agora, da equação (4):
Com
, voltamos para a equação (1):
E com
, usamos a equação (2):
Passo 6
Agora que temos todos os valores de
e
, podemos montar a matriz
:
Resposta
O operador linear
é representado pela matriz: