As condições no início de um ciclo de ar-padrão Diesel são fixadas por p1=200 kPa e T1=380 K. A taxa de compressão é 20 e a adição de calor por unidade de massa é 900 kJ / kg. Determine a eficiência térmica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eficiência térmica do ciclo Diesel! O enunciado nos dá:
  • Pressão inicial, p1=200 kPa
  • Temperatura inicial, T1=380 K
  • Taxa de compressão, r = 20
  • Calor adicionado por unidade de massa, Qin = 900 kJ/kg
Vamos precisar entender como funciona o ciclo Diesel e usar a fórmula da eficiência térmica desse ciclo para calcular a eficiência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o ciclo Diesel. É um ciclo termodinâmico usado em motores Diesel, composto por quatro etapas:
  1. Compressão adiabática (sem troca de calor)
  2. Adição de calor a pressão constante
  3. Expansão adiabática
  4. Rejeição de calor a volume constante
A eficiência térmica ( eta) do ciclo Diesel nos mostra quão bem o motor converte o calor em trabalho útil.

Passo 3

A fórmula para a eficiência térmica do ciclo Diesel é:
eta = 1 - 1r^gamma - 1 ( rho^gamma - 1gamma (rho - 1) )
Onde:
  • r é a taxa de compressão
  • rho é a razão de corte (cut-off ratio)
  • gamma é a relação de calores específicos ( Cp/Cv)
Como o enunciado não nos deu diretamente rho, vamos precisar relacionar o calor adicionado com os outros dados para encontrar rho.

Passo 4

Sabemos que o calor adicionado no ciclo Diesel é dado por:
Qin = Cp (T3 - T2)
Onde T3 e T2 são as temperaturas nos estados 3 e 2, respectivamente.
Também, durante a compressão adiabática:
T2T1 = r^gamma - 1
Vamos assumir gamma = 1.4 (valor típico para o ar).

Passo 5

Calculando T2:
T2 = T1 cdot r^gamma - 1 = 380 cdot 20^0.4 approx 380 cdot 4.5948 approx 1,745 K

Passo 6

Agora, usando o calor adicionado:
900 = Cp (T3 - 1,745)
Assumindo Cp = 1.005 kJ/kg cdot K para o ar,
900 = 1.005 (T3 - 1,745) Rightarrow T3 = 9001.005 + 1,745 approx 896.52 + 1,745 approx 898.27 K

Passo 7

A razão de corte rho é dada por:
rho = V3V2 = T3T2 approx 898.271,745 approx 0.515
No entanto, isso não faz sentido físico já que rho deve ser maior que 1. Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos reavaliar o passo 5.

Passo 8

Recalculando T2 corretamente:
20^0.4 approx e^0.4 ln 20 approx e^0.4 times 2.9957 approx e^1.1983 approx 3.31
Então,
T2 = 380 times 3.31 approx 1,259 K

Passo 9

Agora, usando o calor adicionado:
900 = 1.005 (T3 - 1,259) Rightarrow T3 = 9001.005 + 1,259 approx 895.52 + 1,259 approx 896.77 K

Passo 10

Calculando a razão de corte rho:
rho = T3T2 approx 896.771,259 approx 0.712
Ainda menor que 1, o que não faz sentido. Parece que a relação do calor adicionado está diferente. Vamos usar outra abordagem.

Passo 11

Vamos usar a relação do ciclo Diesel que relaciona o calor adicionado com a razão de corte:
Qin = Cp T3 - Cp T2 = Cp (T3 - T2)
Também sabemos que durante a expansão adiabática:
T4T3 = ( V3V4 )^gamma -1 = rho^-(gamma -1)
E na rejeição de calor:
Qout = Cv (T4 - T1)
A eficiência térmica também pode ser expressa como:
eta = 1 - QoutQin = 1 - Cv (T4 - T1)Cp (T3 - T2)
Como Cp - Cv = R, e gamma = CpCv, podemos expressar Cv = Cpgamma.
Substituindo na equação da eficiência:
eta = 1 - Cpgamma (T4 - T1)Cp (T3 - T2) = 1 - T4 - T1gamma (T3 - T2)
Vamos precisar de mais relações para avançar.

Passo 12

Sabendo que rho = V3V2 e V2 = V1r, além de relações de temperatura, podemos tentar expressar todas as variáveis em função de r e rho.
Para simplificar, vamos usar a fórmula padrão da eficiência do ciclo Diesel:
eta = 1 - 1r^gamma -1 rho^gamma -1gamma (rho -1)
Mas precisamos encontrar rho usando o calor adicionado Qin = 900 kJ/kg.
Usando Qin = Cp (T3 - T2):
900 = Cp (T3 - T2)
Assumindo Cp = 1.005 kJ/kg cdot K,
T3 = 9001.005 + T2 approx 895.52 + T2
E como rho = V3V2 = T3T2,
rho = 895.52 + T2T2 = 1 + 895.52T2
Também sabemos que T2 = T1 r^gamma -1 = 380 times 20^0.4 approx 3.31, revisando passo 5 corrigido:
T2 = 380 times 3.31 approx 1,259 K
Então,
rho = 1 + 895.521,259 approx 1 + 0.711 approx 1.711

Passo 13

Agora que temos r = 20, gamma = 1.4, e rho = 1.711, podemos calcular a eficiência:
eta = 1 - 120^0.4 cdot 1.711^1.4 -11.4 (1.711 -1)
Calculando cada parte:
20^0.4 approx 3.31
1.711^1.4 approx 2.126
Então,
eta = 1 - 13.31 cdot 2.126 -11.4 times 0.711 approx 1 - 13.31 cdot 1.1260.995 approx 1 - 1.1263.31 times 0.995 approx 1 - 1.1263.296 approx 1 - 0.341 approx 0.659

Resposta

A eficiência térmica do ciclo Diesel é aproximadamente 65,9%.

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