Nas condições do item a, considere , não ambos nulos, o conjunto é L.I.?

Passo 1

Então, a pergunta é: dado que e são números reais, e não ambos iguais a zero, o conjunto é linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se só acontece quando e .

Passo 3

Aplicando isso ao conjunto , queremos verificar se a única solução para é e .

Passo 4

Vamos reescrever a equação:
Para que essa soma seja igual ao vetor zero, devemos ter que cada componente independente seja igual a zero, assumindo que e são vetores não nulos e distintos (o que geralmente se supõe a menos que especificado de outra forma).

Passo 5

Então, temos duas equações:
Como e não são ambos zero, isso significa que ou ou (ou ambos).

Passo 6

  • Se , então da primeira equação segue que .
  • Se , então da segunda equação segue que .

Passo 7

Portanto, a única solução possível é e . Isso confirma que os vetores e são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é linearmente independente.

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Determine a dimensão dos seguintes subespaços de :
Determine .
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