Nas condições do item a, considere
, não ambos nulos, o conjunto
é L.I.?
Passo 1
Então, a pergunta é: dado que
e
são números reais, e não ambos iguais a zero, o conjunto
é linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
só acontece quando
e
.
Passo 3
Aplicando isso ao conjunto
, queremos verificar se a única solução para
é
e
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação:
Para que essa soma seja igual ao vetor zero, devemos ter que cada componente independente seja igual a zero, assumindo que
e
são vetores não nulos e distintos (o que geralmente se supõe a menos que especificado de outra forma).
Passo 5
Então, temos duas equações:
Como
e
não são ambos zero, isso significa que ou
ou
(ou ambos).
Passo 6
- Se
, então da primeira equação segue que . - Se
, então da segunda equação segue que .
Passo 7
Portanto, a única solução possível é
e
. Isso confirma que os vetores
e
são linearmente independentes.
Resposta
Sim, o conjunto
é linearmente independente.
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Quais são as matrizes pertencentes ao
?
Determine a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Determine
.
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: