Determine A(2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar . Esse problema está relacionado à Função de Ackermann, que é uma função bem conhecida na matemática e na teoria da computação por crescer muito rapidamente. Para resolver, vamos precisar entender como essa função funciona e aplicar suas definições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Função de Ackermann, A(m, n) = n + 1 & se m = 0, A(m - 1, 1) & se m > 0 e n = 0, A(m - 1, A(m, n - 1)) & se m > 0 e n > 0 :
Essa definição recursiva significa que para calcular , precisamos calcular outros valores da própria função.

Passo 3

Vamos começar calculando A(2,4) = A(1, A(2,3)) . De acordo com a definição, como e , usamos a terceira regra:
Mas antes de poder calcular isso, precisamos descobrir .

Passo 4

Vamos calcular A(2,3) = A(1, A(2,2)) . Novamente, e , então:
Agora precisamos encontrar .

Passo 5

Para A(2,2) = A(1, A(2,1)) , seguimos a mesma lógica:
Vamos calcular .

Passo 6

Calculando A(2,1) = A(1, A(2,0)) :
Agora precisamos de .

Passo 7

Para A(2,0) = A(1,1) , como , usamos a segunda regra:
Vamos calcular .

Passo 8

Calculando A(1,1) = A(0, A(1,0)) :
Agora, .

Passo 9

Para A(1,0) = A(0,1) , como :
E sabemos que .

Passo 10

Voltando a A(1,1) = A(0,2) = 2 + 1 = 3 :

Passo 11

Agora, voltamos para A(2,1) = A(1, A(2,0)) = A(1,1) = 3 :

Passo 12

Com isso, podemos calcular A(2,2) = A(1, A(2,1)) = A(1,3) :
Vamos calcular .

Passo 13

Calculando A(1,3) = A(0, A(1,2)) :
Agora, precisamos de .

Passo 14

Para A(1,2) = A(0, A(1,1)) = A(0,3) = 3 + 1 = 4 :

Passo 15

Voltando a A(1,3) = A(0,4) = 4 + 1 = 5 :

Passo 16

Agora, podemos concluir A(2,2) = A(1,3) = 5 :

Passo 17

Com A(2,3) = A(1,5) encontrado, vamos para :
Vamos calcular .

Passo 18

Calculando A(1,5) = A(0, A(1,4)) :
Precisamos de .

Passo 19

Para A(1,4) = A(0, A(1,3)) = A(0,5) = 5 + 1 = 6 :

Passo 20

Voltando a A(1,5) = A(0,6) = 6 + 1 = 7 :

Passo 21

Agora, podemos concluir A(2,3) = A(1,5) = 7 :

Passo 22

Finalmente, vamos calcular A(2,4) = A(1,7) :
Vamos encontrar .

Passo 23

Calculando A(1,7) = A(0, A(1,6)) :
Precisamos de .

Passo 24

Para A(1,6) = A(0, A(1,5)) = A(0,7) = 7 + 1 = 8 :

Passo 25

Voltando a A(1,7) = A(0,8) = 8 + 1 = 9 :

Resposta

Portanto, .

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