Determine a dimensão dos seguintes subespaços de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear. A pergunta é sobre determinar a dimensão de um subespaço específico de matrizes 3x3 com números reais, que chamamos de . O subespaço é formado por todas as matrizes que satisfazem a condição , onde é a transposta de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, transpostas de matrizes e como encontrar a dimensão de um conjunto de matrizes que seguem uma certa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se
então
Agora, a condição dada é . Isso significa que cada elemento da matriz deve ser igual a duas vezes o elemento correspondente na sua transposta.
Passo 3
Vamos aplicar essa condição aos elementos gerais de uma matriz 3x3. Vamos escrever
e sua transposta
A condição nos dá as seguintes equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações uma por uma:
implica que .
implica que .
implica que .
e . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, , o que dá e, consequentemente, .
Da mesma forma, e . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, , o que dá e, consequentemente, .
Finalmente, e . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, , o que dá e, consequentemente, .
Passo 5
Depois de resolver todas as equações, percebemos que todos os elementos da matriz têm que ser zero. Ou seja, a única matriz que satisfaz é a matriz nula:
Isso significa que o conjunto contém apenas a matriz nula.