Determine a dimensão dos seguintes subespaços de M3(R) : U=A in M3(R) / A=2 A^T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear. A pergunta é sobre determinar a dimensão de um subespaço específico de matrizes 3x3 com números reais, que chamamos de . O subespaço é formado por todas as matrizes que satisfazem a condição , onde é a transposta de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, transpostas de matrizes e como encontrar a dimensão de um conjunto de matrizes que seguem uma certa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz A = a & b c & d , , denotada por A^T = a & c b & d , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se
então
Agora, a condição dada é . Isso significa que cada elemento da matriz deve ser igual a duas vezes o elemento correspondente na sua transposta.

Passo 3

Vamos aplicar essa condição aos elementos gerais de uma matriz 3x3. Vamos escrever
A = a & b & c d & e & f g & h & i ,
e sua transposta
A^T = a & d & g b & e & h c & f & i
A condição a = 2a b = 2d c = 2g d = 2b e = 2e f = 2h g = 2c h = 2f i = 2i nos dá as seguintes equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações uma por uma:
  1. implica que .
  2. implica que .
  3. implica que .
  4. e . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, , o que dá e, consequentemente, .
  5. Da mesma forma, e . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, , o que dá e, consequentemente, .
  6. Finalmente, e . Substituindo na primeira equação, temos , ou seja, , o que dá e, consequentemente, .

Passo 5

Depois de resolver todas as equações, percebemos que todos os elementos da matriz A = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 têm que ser zero. Ou seja, a única matriz que satisfaz é a matriz nula:
Isso significa que o conjunto contém apenas a matriz nula.

Resposta

A dimensão do subespaço é .

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