Determine a dimensão dos seguintes subespaços de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para descobrir a dimensão de um subespaço específico de matrizes 3x3 com números reais, onde a soma dos elementos da diagonal principal é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, matrizes e como calcular dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Uma matriz nessa forma tem 9 elementos, então o espaço tem dimensão 9.

Passo 3

O subespaço é definido pelas matrizes onde . Isso é uma condição linear que impõe uma restrição sobre as entradas da matriz.

Passo 4

Como temos uma única equação ( ) que relaciona três das entradas da matriz, isso significa que uma delas pode ser expressa em termos das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para :

Passo 5

Assim, mesmo com essa restrição, as outras 8 entradas da matriz (as que não estão na diagonal principal ou as demais da diagonal) podem ser quaisquer números reais. Isso nos dá 8 graus de liberdade.

Resposta

A dimensão do subespaço é 8.

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