Determine a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para descobrir a dimensão de um subespaço específico de matrizes 3x3 com números reais, onde a soma dos elementos da diagonal principal é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, matrizes e como calcular dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Uma matriz nessa forma tem 9 elementos, então o espaço
tem dimensão 9.
Passo 3
O subespaço
é definido pelas matrizes onde
. Isso é uma condição linear que impõe uma restrição sobre as entradas da matriz.
Passo 4
Como temos uma única equação (
) que relaciona três das entradas da matriz, isso significa que uma delas pode ser expressa em termos das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para
:
Passo 5
Assim, mesmo com essa restrição, as outras 8 entradas da matriz (as que não estão na diagonal principal ou as demais da diagonal) podem ser quaisquer números reais. Isso nos dá 8 graus de liberdade.
Resposta
A dimensão do subespaço
é 8.
Exercícios relacionados
Determine
.
Nas condições do item a, considere
, não ambos nulos, o conjunto
é L.I.?
Inverta por escalonamento as seguintes matrizes
Lista 1 - Alg Lin
Lista 1 - Alg Lin
Dado o triângulo de vértices
. Calcule: A área do triângulo
.