Quais as condiçōes de k para que a matriz [lll1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & k] seja inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa descobrir para quais valores de ela é inversível. Matriz inversível é aquela que tem um inverso, ou seja, se a gente multiplicar a matriz pela sua inversa, dá a identidade. Pra saber se uma matriz é inversível, a gente verifica o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível. Então, vamos calcular o determinante dessa matriz e ver quais valores de deixam ele diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a matriz que a gente tem:
1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & k
Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Uma forma fácil é usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Aqui, vamos usar a expansão de cofatores.

Passo 3

Vamos calcular o determinante expandindo pela primeira linha. A fórmula fica assim:
det = a11 cdot det( a22 & a23 a32 & a33 ) - a12 cdot det( a21 & a23 a31 & a33 ) + a13 cdot det( a21 & a22 a31 & a32 )
Aplicando isso à nossa matriz:
det = 1 cdot 1 & 2 2 & k - 1 cdot 2 & 2 1 & k + 1 cdot 2 &1 1 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. 1 & 2 2 & k
  2. 2 & 2 1 & k
  3. 2 &1 1 & 2

Passo 5

Substituindo esses resultados na fórmula do determinante:
det = 1 cdot (k - 4) - 1 cdot (2k - 2) + 1 cdot 3
Vamos simplificar isso:
det = k - 4 - 2k + 2 + 3 = -k + 1

Passo 6

Agora, pra matriz ser inversível, o determinante precisa ser diferente de zero:
-k + 1 neq 0
Resolvendo para -k + 1 neq 0 -k neq -1 k neq 1 :

Resposta

A matriz é inversível para todo valor de diferente de 1. Ou seja, .

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