Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
, definida por
k)
, definida por
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares. A gente vai verificar se cada transformação
é linear, classificar se é injetora ou sobrejetora, e determinar o núcleo e a imagem de cada uma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como identificar essas propriedades.
Passo 2
Antes de mais nada, uma transformação
é linear se ela respeita duas coisas básicas:
-
para quaisquer vetores e . -
para qualquer escalar e vetor .
Isso significa que a transformação preserva adição e multiplicação por escalar. Além disso, uma transformação é:
- Injetora se cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio.
- Sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
- Núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.
- Imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação.
Agora, vamos verificar cada transformação uma a uma.
Passo 3
a)
Linearidade:
Vamos ver se respeita adição e escala.
Vamos ver se
-
- Isso é igual a
- Similarmente, para escala:
Então,
é linear.
Injetora e Sobrejetora:
Para verificar se é injetora, vemos se o único vetor que mapeia para zero é o vetor zero.
Para verificar se é injetora, vemos se o único vetor que mapeia para zero é o vetor zero.
-
implica e . Resolvendo, encontramos e substituindo na segunda equação: => e . Então, o núcleo é apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.
Para sobrejetora, como estamos mapeando
para
e a transformação é linear e injetora, ela também é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
- Núcleo:
- Imagem: Todo
Passo 4
b)
Linearidade:
- Verificamos adição e escala:
-
- Isso é igual a
- Para escala:
Então,
é linear.
Injetora e Sobrejetora:
- Como
apenas troca as coordenadas, cada par mapeia para de forma única. Portanto, é injetora. - Além disso, para qualquer
em , existe que mapeia para . Logo, é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
- Núcleo:
- Imagem: Todo
Passo 5
c)
Linearidade:
Vamos checar se respeita a adição:
Vamos checar se
-
- Isso não é igual a
a menos que e para todos, o que não é o caso.
Então,
não é linear.
Núcleo e Imagem:
Como não é linear, não precisamos classificar injetora ou sobrejetora, nem determinar núcleo e imagem no contexto de transformações lineares.
Como não é linear, não precisamos classificar injetora ou sobrejetora, nem determinar núcleo e imagem no contexto de transformações lineares.
Passo 6
d)
Linearidade:
Verificamos se :
Verificamos se
Já que
não leva o vetor zero ao vetor zero, não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.
Não se aplica por não ser linear.
Passo 7
e)
Linearidade:
- Verificamos adição:
-
- Isso é igual a
- Para escala:
Portanto,
é linear.
Injetora e Sobrejetora:
- Núcleo:
implica => . Portanto, o núcleo é , que é uma linha em . - Como o núcleo não é apenas o vetor zero,
não é injetora. - Imagem: Todos os vetores da forma
, onde . Logo, a imagem é a reta -axis. - Portanto,
não é sobrejetora pois não cobre todo .
Passo 8
f)
Linearidade:
Para ser linear, precisa respeitar adição e escala. Mas a função módulo ( ) não preserva a operação de adição nem escala (por exemplo,
mas
).
Para ser linear, precisa respeitar adição e escala. Mas a função módulo (
- Logo,
não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.
Não se aplica por não ser linear.
Passo 9
g)
Linearidade:
A função seno não preserva adição nem escala.
A função seno não preserva adição nem escala.
-
- Logo,
não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.
Não se aplica por não ser linear.
Passo 10
h)
Linearidade:
O termo não é linear, porque multiplicação de variáveis não preserva adição nem escala.
O termo
- Logo,
não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.
Não se aplica por não ser linear.
Passo 11
i)
Linearidade:
- Verificamos adição:
-
- Isso é igual a
- Para escala:
-
Então,
é linear.
Injetora e Sobrejetora:
- Para verificar a injetividade:
-
implica e => e . Núcleo é => é injetora.
-
- Sobrejetora, já que para qualquer
, podemos resolver e , ou seja, e . Logo, é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
- Núcleo:
- Imagem: Todo
Passo 12
j)
, definida por
Linearidade:
- Verificamos adição e escala:
-
- Isso é igual a
- Para escala:
-
Então,
é linear.
Injetora e Sobrejetora:
- Núcleo:
implica , , , => , . Núcleo é , então é injetora. - Imagem: A imagem consiste em todas as matrizes da forma
. Podemos ver que qualquer matriz nessa forma pode ser alcançada variando e , mas não necessariamente todas as matrizes . Portanto, não é sobrejetora.
Passo 13
k)
, definida por
Linearidade:
- Verificamos adição e escala:
-
-
- Igual para escala.
Portanto,
é linear.
Injetora e Sobrejetora:
- Núcleo:
implica e . Então, e . Portanto, o núcleo é o conjunto de matrizes da forma , onde e são quaisquer. - Como o núcleo contém mais que apenas a matriz zero,
não é injetora. - Imagem: Para qualquer
, podemos escolher e , e pode ser qualquer. Logo, a imagem é todo , então é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
- Núcleo:
- Imagem: Todo
Resposta
Foram verificadas as transformações lineares, suas propriedades de injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem conforme abaixo:
a) Linear, injetora e sobrejetora. Núcleo:
. Imagem:
.
b) Linear, injetora e sobrejetora. Núcleo:
. Imagem:
.
c) Não linear.
d) Não linear.
e) Linear, não injetora e não sobrejetora. Núcleo:
. Imagem:
.
f) Não linear.
g) Não linear.
h) Não linear.
i) Linear, injetora e sobrejetora. Núcleo:
. Imagem:
.
j) Linear, injetora e não sobrejetora. Núcleo:
. Imagem: Conjunto de matrizes
.
k) Linear, não injetora e sobrejetora. Núcleo:
. Imagem:
.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial sobre
de dimensão
. Considere
também como um espaço vetorial sobre
. Seja então
uma transformação linear.
a) Mostre que ou é igual a
ou a
.
b) Se é outra transformação linear e
são elementos não nulos, linearmente dependentes em
, então mostre que
.
a) Mostre que
b) Se
Verifique se as funções abaixo de
em
são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Considere o operador linear
definido por
. Quais dos seguintes vetores pertencem a
?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Quais as condiçōes de
para que a matriz
seja inversível.