Dentre as transformações 𝕜𝕜 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j) 𝕜𝕜, definida por
k) 𝕜𝕜, definida por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares. A gente vai verificar se cada transformação 𝕜𝕜 é linear, classificar se é injetora ou sobrejetora, e determinar o núcleo e a imagem de cada uma. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como identificar essas propriedades.

Passo 2

Antes de mais nada, uma transformação é linear se ela respeita duas coisas básicas:
  1. para quaisquer vetores e .
  2. para qualquer escalar e vetor .
Isso significa que a transformação preserva adição e multiplicação por escalar. Além disso, uma transformação é:
  • Injetora se cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio.
  • Sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
  • Núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero.
  • Imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação.
Agora, vamos verificar cada transformação uma a uma.

Passo 3

a)

Linearidade:
Vamos ver se respeita adição e escala.
  • Isso é igual a
  • Similarmente, para escala:
Então, é linear.
Injetora e Sobrejetora:
Para verificar se é injetora, vemos se o único vetor que mapeia para zero é o vetor zero.
  • implica e . Resolvendo, encontramos e substituindo na segunda equação: => e . Então, o núcleo é apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.
Para sobrejetora, como estamos mapeando 𝕜 para 𝕜 e a transformação é linear e injetora, ela também é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
  • Núcleo:
  • Imagem: Todo 𝕜

Passo 4

b)

Linearidade:
  • Verificamos adição e escala:
  • Isso é igual a
  • Para escala:
Então, é linear.
Injetora e Sobrejetora:
  • Como apenas troca as coordenadas, cada par mapeia para de forma única. Portanto, é injetora.
  • Além disso, para qualquer em 𝕜, existe que mapeia para . Logo, é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
  • Núcleo:
  • Imagem: Todo 𝕜

Passo 5

c)

Linearidade:
Vamos checar se respeita a adição:
  • Isso não é igual a a menos que e para todos, o que não é o caso.
Então, não é linear.
Núcleo e Imagem:
Como não é linear, não precisamos classificar injetora ou sobrejetora, nem determinar núcleo e imagem no contexto de transformações lineares.

Passo 6

d)

Linearidade:
Verificamos se :
Já que não leva o vetor zero ao vetor zero, não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.

Passo 7

e)

Linearidade:
  • Verificamos adição:
  • Isso é igual a
  • Para escala:
Portanto, é linear.
Injetora e Sobrejetora:
  • Núcleo: implica => . Portanto, o núcleo é 𝕜, que é uma linha em 𝕜.
  • Como o núcleo não é apenas o vetor zero, não é injetora.
  • Imagem: Todos os vetores da forma , onde 𝕜. Logo, a imagem é a reta -axis.
  • Portanto, não é sobrejetora pois não cobre todo 𝕜.

Passo 8

f)

Linearidade:
Para ser linear, precisa respeitar adição e escala. Mas a função módulo ( ) não preserva a operação de adição nem escala (por exemplo, mas ).
  • Logo, não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.

Passo 9

g)

Linearidade:
A função seno não preserva adição nem escala.
  • Logo, não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.

Passo 10

h)

Linearidade:
O termo não é linear, porque multiplicação de variáveis não preserva adição nem escala.
  • Logo, não é linear.
Núcleo e Imagem:
Não se aplica por não ser linear.

Passo 11

i)

Linearidade:
  • Verificamos adição:
  • Isso é igual a
  • Para escala:
Então, é linear.
Injetora e Sobrejetora:
  • Para verificar a injetividade:
    • implica e => e . Núcleo é => é injetora.
  • Sobrejetora, já que para qualquer , podemos resolver e , ou seja, e . Logo, é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
  • Núcleo:
  • Imagem: Todo 𝕜

Passo 12

j) 𝕜𝕜, definida por

Linearidade:
  • Verificamos adição e escala:
  • Isso é igual a
  • Para escala:
Então, é linear.
Injetora e Sobrejetora:
  • Núcleo: implica , , , => , . Núcleo é , então é injetora.
  • Imagem: A imagem consiste em todas as matrizes da forma . Podemos ver que qualquer matriz nessa forma pode ser alcançada variando e , mas não necessariamente todas as matrizes . Portanto, não é sobrejetora.

Passo 13

k) 𝕜𝕜, definida por

Linearidade:
  • Verificamos adição e escala:
  • Igual para escala.
Portanto, é linear.
Injetora e Sobrejetora:
  • Núcleo: implica e . Então, e . Portanto, o núcleo é o conjunto de matrizes da forma , onde e são quaisquer.
  • Como o núcleo contém mais que apenas a matriz zero, não é injetora.
  • Imagem: Para qualquer , podemos escolher e , e pode ser qualquer. Logo, a imagem é todo 𝕜, então é sobrejetora.
Núcleo e Imagem:
  • Núcleo: 𝕜
  • Imagem: Todo 𝕜

Resposta

Foram verificadas as transformações lineares, suas propriedades de injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem conforme abaixo:
a) Linear, injetora e sobrejetora. Núcleo: . Imagem: 𝕜.
b) Linear, injetora e sobrejetora. Núcleo: . Imagem: 𝕜.
c) Não linear.
d) Não linear.
e) Linear, não injetora e não sobrejetora. Núcleo: 𝕜. Imagem: 𝕜.
f) Não linear.
g) Não linear.
h) Não linear.
i) Linear, injetora e sobrejetora. Núcleo: . Imagem: 𝕜.
j) Linear, injetora e não sobrejetora. Núcleo: . Imagem: Conjunto de matrizes .
k) Linear, não injetora e sobrejetora. Núcleo: 𝕜. Imagem: 𝕜.

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial sobre de dimensão . Considere também como um espaço vetorial sobre . Seja então uma transformação linear.
a) Mostre que ou é igual a ou a .
b) Se é outra transformação linear e são elementos não nulos, linearmente dependentes em , então mostre que .
Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
Considere o operador linear definido por . Quais dos seguintes vetores pertencem a ?
a)
b)
c)
Quais as condiçōes de para que a matriz seja inversível.