Resolver a equação

Passo 1

Vamos resolver a equação que envolve o determinante da seguinte matriz:
Aqui, estamos trabalhando com determinantes, que são valores calculados a partir de uma matriz quadrada e que fornecem informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver essa equação, precisamos calcular o determinante da matriz em termos de e igualá-lo a 12.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou utilizar a regra de Sarrus porque ela é mais direta.
A regra de Sarrus nos diz que:
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
Aplicando isso à nossa matriz:
Temos:
Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Agora, juntando tudo:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a expressão:
Agora, combinando os termos semelhantes:
Então, o determinante em função de é:

Passo 5

Agora, sabemos que esse determinante é igual a 12. Então, montamos a equação:
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 6

Primeiro, vamos subtrair 12 de ambos os lados para igualar a equação a zero:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar essa equação:
Então, temos duas soluções:
O que nos dá:

Resposta

As soluções da equação são e .

Exercícios relacionados

Quais as condiçōes de para que a matriz seja inversível.
Considere o operador linear definido por . Quais dos seguintes vetores pertencem a ?
a)
b)
c)
Determine a inversa da matriz
Considere o sistema
Quais os postos das matrizes associadas? Existe grau de liberdade? Se possível, apresente a solução.