Resolver a equação
|lll x & 3 & 2 5 & x & 1 1 & 3 & 1 |=12

Passo 1

Vamos resolver a equação que envolve o determinante da seguinte matriz:
x & 3 & 2 5 & x & 1 1 & 3 & 1 = 12
Aqui, estamos trabalhando com determinantes, que são valores calculados a partir de uma matriz quadrada e que fornecem informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver essa equação, precisamos calcular o determinante da matriz em termos de e igualá-lo a 12.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou utilizar a regra de Sarrus porque ela é mais direta.
A regra de Sarrus nos diz que:
Determinante = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
x & 3 & 2 5 & x & 1 1 & 3 & 1
Temos:
  • Determinante = x(x cdot 1 - 1 cdot 3) - 3(5 cdot 1 - 1 cdot 1) + 2(5 cdot 3 - x cdot 1)
Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
x(x cdot 1 - 1 cdot 3) = x(x - 3)
  1. Segundo termo:
-3(5 cdot 1 - 1 cdot 1) = -3(5 - 1) = -3 cdot 4 = -12
  1. Terceiro termo:
2(5 cdot 3 - x cdot 1) = 2(15 - x) = 30 - 2x
Agora, juntando tudo:
Determinante = x(x - 3) - 12 + 30 - 2x

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a expressão:
x(x - 3) - 12 + 30 - 2x = x^2 - 3x - 12 + 30 - 2x
Agora, combinando os termos semelhantes:
x^2 - 3x - 2x - 12 + 30 = x^2 - 5x + 18
Então, o determinante em função de x^2 - 5x + 18 é:

Passo 5

Agora, sabemos que esse determinante é igual a 12. Então, montamos a equação:
x^2 - 5x + 18 = 12
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 6

Primeiro, vamos subtrair 12 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
x^2 - 5x + 18 - 12 = 0 x^2 - 5x + 6 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 . Podemos fatorar essa equação:
x - 2 = 0 ou x - 3 = 0
Então, temos duas soluções:
x = 2 ou x = 3
O que nos dá:

Resposta

As soluções da equação são e .

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