Considere o operador linear
definido por
. Quais dos seguintes vetores pertencem a
?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear! A questão nos apresenta um operador linear
definido por
. Precisamos descobrir quais dos vetores dados pertencem ao núcleo de
, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares e resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que, quando aplicamos
, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição do operador
aos vetores dados e ver quais deles satisfazem a condição
.
Vamos começar com a opção a)
:
Como
, o vetor
não pertence ao núcleo de
.
Passo 4
Agora, vamos para a opção b)
:
Como
, o vetor
não pertence ao núcleo de
.
Passo 5
Por último, vamos verificar a opção c)
:
Como
, o vetor
sim pertence ao núcleo de
.
Resposta
O vetor que pertence a
é c)
.
Exercícios relacionados
Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j) , definida por
k) , definida por
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Seja
um espaço vetorial sobre
de dimensão
. Considere
também como um espaço vetorial sobre
. Seja então
uma transformação linear.
a) Mostre que ou é igual a
ou a
.
b) Se é outra transformação linear e
são elementos não nulos, linearmente dependentes em
, então mostre que
.
a) Mostre que
b) Se
Quais as condiçōes de
para que a matriz
seja inversível.
Resolver a equação