Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y). Quais dos seguintes vetores pertencem a ker(T) ?
a) (1,2)
b) (2-3)
c) (-3,6)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear! A questão nos apresenta um operador linear definido por . Precisamos descobrir quais dos vetores dados pertencem ao núcleo de , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares e resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo de T(x, y) = (0, 0) , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que, quando aplicamos , resultam no vetor zero. Matematicamente, isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a definição do operador T(1, 2) = (2 cdot 1 + 2, 4 cdot 1 + 2 cdot 2) = (2 + 2, 4 + 4) = (4, 8) aos vetores dados e ver quais deles satisfazem a condição .
Vamos começar com a opção a) :
Como , o vetor não pertence ao núcleo de .

Passo 4

Agora, vamos para a opção b) T(2, -3) = (2 cdot 2 + (-3), 4 cdot 2 + 2 cdot (-3)) = (4 - 3, 8 - 6) = (1, 2) :
Como , o vetor não pertence ao núcleo de .

Passo 5

Por último, vamos verificar a opção c) T(-3, 6) = (2 cdot (-3) + 6, 4 cdot (-3) + 2 cdot 6) = (-6 + 6, -12 + 12) = (0, 0) :
Como , o vetor sim pertence ao núcleo de .

Resposta

O vetor que pertence a é c) .

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