Determine a inversa da matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a inversa da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta dela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
A matriz é:
Aplicando a regra de Sarrus:
Calculando cada termo:
Somando:

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de .

Passo 4

A adjunta de uma matriz é a transposta da matriz dos cofatores. Vamos calcular os cofatores para cada elemento de .
Primeiro, encontramos os menores para cada posição:
  • Menor de :
Cofator
  • Menor de :
Cofator
  • Menor de :
Cofator
Repetindo para os demais elementos:
  • Cofator ( C_{21} = (-1) \cdot = (-1) \cdot (3(-1) - (-1)(2)) = (-1) \cdot (-3 + 2) = (-1) \cdot (-1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{22} = (+1) \cdot = 1 \cdot ((-2)(-1) - (-1)(-1)) = 1 \cdot (2 - 1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{23} = (-1) \cdot = (-1) \cdot ((-2)(2) - (3)(-1)) = (-1) \cdot (-4 + 3) = (-1) \cdot (-1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{31} = (+1) \cdot = 1 \cdot (3(1) - (-1)(-3)) = 1 \cdot (3 - 3) = 0
    ]
  • Cofator ( C_{32} = (-1) \cdot = (-1) \cdot ((-2)(1) - (-1)(1)) = (-1) \cdot (-2 + 1) = (-1) \cdot (-1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{33} = (+1) \cdot = 1 \cdot ((-2)(-3) - (3)(1)) = 1 \cdot (6 - 3) = 3
    ]
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 5

A adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 6

Finalmente, a inversa de é dada por:

Resposta

A inversa da matriz é:

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