Determine a inversa da matriz
A=[ccc -2 & 3 & -1 1 & -3 & 1 -1 & 2 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a inversa da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta dela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = -2 & 3 & -1 1 & -3 & 1 -1 & 2 & -1 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
A matriz det(A) = (-2)(-3)(-1) + (3)(1)(-1) + (-1)(1)(2) - [(-1)(-3)(-1) + (3)(1)(-1) + (-2)(1)(2)] é:
det(A) = (-2)(-3)(-1) = -6
Aplicando a regra de Sarrus:
(3)(1)(-1) = -3
Calculando cada termo:
(-1)(1)(2) = -2
(-1)(-3)(-1) = -3
(3)(1)(-1) = -3
(-2)(1)(2) = -4
det(A) = -6 - 3 - 2 - (-3 - 3 - 4) = -11 - (-10) = -1
Somando:

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de .

Passo 4

A adjunta de uma matriz é a transposta da matriz dos cofatores. Vamos calcular os cofatores para cada elemento de -3 & 1 2 & -1 = (-3)(-1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 .
Primeiro, encontramos os menores para cada posição:
  • Menor de 1 & 1 -1 & -1 = (1)(-1) - (1)(-1) = -1 + 1 = 0 :
1 & -3 -1 & 2 = (1)(2) - (-3)(-1) = 2 - 3 = -1
Cofator 3 & -1 2 & -1
  • Menor de -2 & -1 -1 & -1 :
-2 & 3 -1 & 2
Cofator 3 & -1 -3 & 1
  • Menor de -2 & -1 1 & 1 :
-2 & 3 1 & -3
Cofator Cof(A) = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3
Repetindo para os demais elementos:
  • Cofator ( C_{21} = (-1) \cdot = (-1) \cdot (3(-1) - (-1)(2)) = (-1) \cdot (-3 + 2) = (-1) \cdot (-1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{22} = (+1) \cdot = 1 \cdot ((-2)(-1) - (-1)(-1)) = 1 \cdot (2 - 1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{23} = (-1) \cdot = (-1) \cdot ((-2)(2) - (3)(-1)) = (-1) \cdot (-4 + 3) = (-1) \cdot (-1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{31} = (+1) \cdot = 1 \cdot (3(1) - (-1)(-3)) = 1 \cdot (3 - 3) = 0
    ]
  • Cofator ( C_{32} = (-1) \cdot = (-1) \cdot ((-2)(1) - (-1)(1)) = (-1) \cdot (-2 + 1) = (-1) \cdot (-1) = 1
    ]
  • Cofator ( C_{33} = (+1) \cdot = 1 \cdot ((-2)(-3) - (3)(1)) = 1 \cdot (6 - 3) = 3
    ]
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 5

A adjunta de adj(A) = Cof(A)^T = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 3 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 6

Finalmente, a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-1 cdot 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 3 = -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1 1 & -1 & -3 é dada por:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = -1 & -1 & 0 0 & -1 & -1 1 & -1 & -3 é:

Exercícios relacionados