Dê condições para que o vetor (0, m) de R^2 seja combinação linear dos vetores (1,-2) e (-2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber em que condições o vetor no pode ser uma combinação linear dos vetores e . Isso envolve entender o que é combinação linear e como usar sistemas de equações para encontrar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Um vetor (0, m) = k cdot (1, -2) + l cdot (-2, 4) é uma combinação linear de outros vetores se conseguimos encontrar coeficientes (vamos chamar de e ) tais que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada vetor pelos seus coeficientes:
(0, m) = (k cdot 1 + l cdot (-2), k cdot (-2) + l cdot 4)
Isso simplifica para:
(0, m) = (k - 2l, -2k + 4l)

Passo 4

Para que esses vetores sejam iguais, as componentes correspondentes devem ser iguais. Então, temos um sistema de duas equações:
k - 2l = 0 -2k + 4l = m

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar k = 2l em termos de :

Passo 6

Substituímos -2(2l) + 4l = m -4l + 4l = m 0 = m na segunda equação:

Passo 7

A última equação nos diz que . Isso significa que para o vetor ser uma combinação linear dos vetores dados, precisa ser igual a zero.

Resposta

Para que o vetor seja combinação linear dos vetores e , é necessário que .

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