Seja
o conjunto de todos os pares ordenados
de números reais. Determine se
é um espaço vetorial se a soma (©
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
formado por todos os pares ordenados
de números reais. Queremos descobrir se
é um espaço vetorial com as seguintes operações:
- Soma:
- Multiplicação por escalar:
Para resolver isso, vamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Precisaremos entender os axiomas dos espaços vetoriais e aplicá-los um a um.
Passo 2
Vamos começar verificando se a soma é comutativa. Ou seja, se
é igual a
.
Calculando:
Vemos que ambas as somas resultam em
, então a soma é comutativa.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a soma é associativa. Isso significa que
para quaisquer vetores
,
,
em
.
Sejam
,
, e
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a soma é associativa.
Passo 4
Vamos verificar a existência do elemento neutro (vetor zero). O vetor zero deve satisfazer
para todo vetor
em
.
Suponha que o vetor zero seja
. Então:
Para que
, precisaríamos que
, o que não é possível. Portanto, não existe um vetor zero que funcione como elemento neutro com a definição dada de soma.
Passo 5
Como não existe o vetor zero, já podemos concluir que
não é um espaço vetorial. Mesmo que outras propriedades fossem satisfeitas, a ausência do elemento neutro impede que
seja um espaço vetorial.