Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Determine se V é um espaço vetorial se a soma (© (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1+1, x2+y2), a(x1, x2)= (a x1, a x2)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto V formado por todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Queremos descobrir se V é um espaço vetorial com as seguintes operações:
  • Soma: (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2)
  • Multiplicação por escalar: a(x1, x2) = (a x1, a x2)
Para resolver isso, vamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Precisaremos entender os axiomas dos espaços vetoriais e aplicá-los um a um.

Passo 2

Vamos começar verificando se a soma é comutativa. Ou seja, se (x1, x2) + (y1, y2) é igual a (y1, y2) + (x1, x2).
Calculando:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2)
(y1, y2) + (x1, x2) = (y1 + x1 + 1, y2 + x2)
Vemos que ambas as somas resultam em (x1 + y1 + 1, x2 + y2), então a soma é comutativa.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a soma é associativa. Isso significa que (u + v) + w = u + (v + w) para quaisquer vetores u, v, w em V.
Sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2), e w = (z1, z2).
Calculando (u + v) + w:
(u + v) + w = ((x1 + y1 + 1, x2 + y2)) + (z1, z2)) = (x1 + y1 + 1 + z1 + 1, x2 + y2 + z2) = (x1 + y1 + z1 + 2, x2 + y2 + z2)
Calculando u + (v + w):
u + (v + w) = (x1, x2) + (y1 + z1 + 1, y2 + z2) = (x1 + y1 + z1 + 1 + 1, x2 + y2 + z2) = (x1 + y1 + z1 + 2, x2 + y2 + z2)
Como (u + v) + w = u + (v + w), a soma é associativa.

Passo 4

Vamos verificar a existência do elemento neutro (vetor zero). O vetor zero deve satisfazer v + 0 = v para todo vetor v em V.
Suponha que o vetor zero seja (0, 0). Então:
(x1, x2) + (0, 0) = (x1 + 0 + 1, x2 + 0) = (x1 + 1, x2)
Para que (x1 + 1, x2) = (x1, x2), precisaríamos que 1 = 0, o que não é possível. Portanto, não existe um vetor zero que funcione como elemento neutro com a definição dada de soma.

Passo 5

Como não existe o vetor zero, já podemos concluir que V não é um espaço vetorial. Mesmo que outras propriedades fossem satisfeitas, a ausência do elemento neutro impede que V seja um espaço vetorial.

Resposta

V não é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas.

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