Beleza! Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um vetor matriz de tamanho e queremos mostrar que ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar coeficientes escalares v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , e tais que:
Isso significa que, multiplicando cada vetor pelo seu respectivo coeficiente e somando tudo, obtemos o vetor .
Observa que v = a cdot v1 + b cdot v2 é a matriz nula, ou seja, quaisquer que sejam os valores de , o termo será sempre uma matriz de zeros. Então, podemos simplificar a equação para:
Percebemos que todas as equações são equivalentes, ou seja, dão a mesma relação entre 1 = a + 2b e . Vamos resolver uma delas, por exemplo:
Passo 6
Vamos resolver para a = 1 - 2b :
2 = 2(1 - 2b) + 4b 2 = 2 - 4b + 4b 2 = 2
Agora, substituímos na primeira equação:
Isso mostra que a equação é verdadeira para qualquer valor de . Isso significa que h�� infinitas soluções para e , desde que .
Resposta
Portanto, o vetor v = (1 - 2b) cdot v1 + b cdot v2 + 0 cdot v3 é uma combinação linear dos vetores v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = v1 , e , onde os coeficientes satisfazem e . Em outras palavras:
Para qualquer valor de . Por exemplo, escolhendo :