Mostre que: O vetor v=[ccc2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3] in M3 times 3(R) é combinação linear dos vetores
v1=[ccc 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 ], v2=[ccc 4 & -6 & 8 2 & 2 & -4 -2 & 0 & 6 ], e v3=[lll 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um vetor matriz de tamanho e queremos mostrar que ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar coeficientes escalares v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , e tais que:
Isso significa que, multiplicando cada vetor pelo seu respectivo coeficiente e somando tudo, obtemos o vetor .

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
[ccc 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 ] = a cdot [ccc 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 ] + b cdot [ccc 4 & -6 & 8 2 & 2 & -4 -2 & 0 & 6 ] + c cdot [ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

Observa que v = a cdot v1 + b cdot v2 é a matriz nula, ou seja, quaisquer que sejam os valores de , o termo será sempre uma matriz de zeros. Então, podemos simplificar a equação para:

Passo 5

Agora, vamos expandir a equação:
[ccc 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 ] = a cdot [ccc 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 ] + b cdot [ccc 4 & -6 & 8 2 & 2 & -4 -2 & 0 & 6 ]
Vamos igualar cada elemento correspondente das matrizes:
2 = 2a + 4b -3 = -3a -6b 4 = 4a +8b 1 = a +2b 1 = a +2b -2 = -2a -4b -1 = -a -2b 0 = 0a +0b 3 = 3a +6b
Percebemos que todas as equações são equivalentes, ou seja, dão a mesma relação entre 1 = a + 2b e . Vamos resolver uma delas, por exemplo:

Passo 6

Vamos resolver para a = 1 - 2b :
2 = 2(1 - 2b) + 4b 2 = 2 - 4b + 4b 2 = 2
Agora, substituímos na primeira equação:
Isso mostra que a equação é verdadeira para qualquer valor de . Isso significa que h�� infinitas soluções para e , desde que .

Resposta

Portanto, o vetor v = (1 - 2b) cdot v1 + b cdot v2 + 0 cdot v3 é uma combinação linear dos vetores v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = v1 , e , onde os coeficientes satisfazem e . Em outras palavras:
Para qualquer valor de . Por exemplo, escolhendo :

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