Encontre uma equação cartesiana do plano determinado pelo ponto e pela reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que é determinado por um ponto e por uma reta dada pela equação paramétrica , onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar um plano a partir de um ponto e uma reta. O que precisamos fazer é encontrar a equação do plano usando o ponto e a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta dada. A equação paramétrica da reta é . Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por , onde varia sobre todos os números reais. A direção da reta é dada pelo vetor diretor, que são os coeficientes de nas coordenadas. Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Como o plano é determinado por o ponto e a reta, podemos pegar dois vetores que estão no plano: o vetor diretor da reta e o vetor que vai de a um ponto da reta. Vamos escolher na reta para facilitar, o que nos dá o ponto . Então, o vetor é .
Passo 4
Com os dois vetores no plano e , podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores. O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto 4(x - 2) + 6(y + 2) + 5(z - 1) = 0 que está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto conhecido no plano. Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos expandir essa equação para deixá-la na forma cartesiana padrão: