Encontre uma equação cartesiana do plano determinado pelo ponto P=(2,-2,1) e pela reta X= (1+2 t, 2-3 t, 2 t-3), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que é determinado por um ponto e por uma reta dada pela equação paramétrica , onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar um plano a partir de um ponto e uma reta. O que precisamos fazer é encontrar a equação do plano usando o ponto e a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta dada. A equação paramétrica da reta é . Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por , onde varia sobre todos os números reais. A direção da reta é dada pelo vetor diretor, que são os coeficientes de nas coordenadas. Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Como o plano é determinado por o ponto e a reta, podemos pegar dois vetores que estão no plano: o vetor diretor da reta e o vetor que vai de a um ponto da reta. Vamos escolher na reta para facilitar, o que nos dá o ponto . Então, o vetor é .

Passo 4

Com os dois vetores no plano n = i & j & k 2 & -3 & 2 -1 & 4 & -4 = i((-3)(-4) - (2)(4)) - j((2)(-4) - (2)(-1)) + k((2)(4) - (-3)(-1)) e n = i(12 - 8) - j(-8 - (-2)) + k(8 - 3) = i(4) - j(-6) + k(5) = (4, 6, 5) , podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores. O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto 4(x - 2) + 6(y + 2) + 5(z - 1) = 0 que está no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto conhecido no plano. Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos expandir essa equação para deixá-la na forma cartesiana padrão:
4x - 8 + 6y + 12 + 5z - 5 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
4x + 6y + 5z - 1 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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