A condutividade elétrica e dado em de um cilindro de comprimento e área de seção transversal cresce linearmente com a distância, assumindo o valor numa extremidade e na outra. Calcule o valor da resistência total do cilindro.
Resposta: com

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um cilindro com comprimento e área de seção transversal . A condutividade elétrica desse cilindro está aumentando de forma linear ao longo do comprimento: começa em em uma extremidade e chega a na outra. Nosso objetivo aqui é calcular a resistência total desse cilindro.
Matéria envolvida: Eletricidade, mais especificamente a relação entre condutividade elétrica e resistência.
O que vamos precisar: Entender como a condutividade varia ao longo do cilindro e aplicar a integração para encontrar a resistência total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica de um material é dada pela fórmula:
onde:
  • é a resistividade elétrica (que é o inverso da condutividade, ou seja, ),
  • é o comprimento,
  • é a área da seção transversal.
No nosso caso, a condutividade não é constante, ela varia linearmente de para ao longo do comprimento do cilindro. Portanto, precisamos adaptar nossa abordagem para levar essa variação em conta.

Passo 3

Como a condutividade está mudando ao longo do comprimento, a resistência não pode ser calculada simplesmente usando uma média ou um valor constante. Em vez disso, devemos considerar pequenos pedaços do cilindro onde a condutividade pode ser aproximada como constante.
Vamos imaginar que dividimos o cilindro em infinitos pequenos segmentos de comprimento . Em cada segmento, a resistência diferencial pode ser escrita como:
Aqui, é a resistividade no ponto do cilindro.

Passo 4

Como a condutividade varia linearmente, podemos expressar como uma função de . Sabendo que em (uma extremidade) temos e em (a outra extremidade) temos , a função linear é:
Portanto, a resistividade será:

Passo 5

Agora, para encontrar a resistência total , precisamos somar todas as resistências diferenciais ao longo do comprimento . Isso é feito através da integração:
Vamos simplificar a expressão no denominador:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
Fazendo a substituição , então , e rearranjando, temos .
Substituindo na integral:
A integral de é , então:

Resposta

A resistência total do cilindro é:
Com a condição de que .

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Resposta: .
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Resposta: (a)