A condutividade elétrica (=rho^-1 e dado em Omega^-1 m^-1) de um cilindro de comprimento l e área de seção transversal S cresce linearmente com a distância, assumindo o valor sigma0 numa extremidade e sigma1 na outra. Calcule o valor da resistência total do cilindro.
Resposta: R=lS(sigma1-sigma0) ln (sigma1sigma0) com sigma1>sigma0

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um cilindro com comprimento l e área de seção transversal S. A condutividade elétrica desse cilindro está aumentando de forma linear ao longo do comprimento: começa em sigma0 em uma extremidade e chega a sigma1 na outra. Nosso objetivo aqui é calcular a resistência total desse cilindro.
Matéria envolvida: Eletricidade, mais especificamente a relação entre condutividade elétrica e resistência.
O que vamos precisar: Entender como a condutividade varia ao longo do cilindro e aplicar a integração para encontrar a resistência total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica R de um material é dada pela fórmula:
R = rho cdot lS
onde:
  • rho é a resistividade elétrica (que é o inverso da condutividade, ou seja, rho = 1sigma),
  • l é o comprimento,
  • S é a área da seção transversal.
No nosso caso, a condutividade sigma não é constante, ela varia linearmente de sigma0 para sigma1 ao longo do comprimento l do cilindro. Portanto, precisamos adaptar nossa abordagem para levar essa variação em conta.

Passo 3

Como a condutividade está mudando ao longo do comprimento, a resistência não pode ser calculada simplesmente usando uma média ou um valor constante. Em vez disso, devemos considerar pequenos pedaços do cilindro onde a condutividade pode ser aproximada como constante.
Vamos imaginar que dividimos o cilindro em infinitos pequenos segmentos de comprimento dx. Em cada segmento, a resistência diferencial dR pode ser escrita como:
dR = rho(x) cdot dxS
Aqui, rho(x) = 1sigma(x) é a resistividade no ponto x do cilindro.

Passo 4

Como a condutividade varia linearmente, podemos expressar sigma(x) como uma função de x. Sabendo que em x=0 (uma extremidade) temos sigma0 e em x=l (a outra extremidade) temos sigma1, a função linear é:
sigma(x) = sigma0 + (sigma1 - sigma0l) x
Portanto, a resistividade rho(x) será:
rho(x) = 1sigma(x) = 1sigma0 + (sigma1 - sigma0l) x

Passo 5

Agora, para encontrar a resistência total R, precisamos somar todas as resistências diferenciais dR ao longo do comprimento l. Isso é feito através da integração:
R = integral0^l rho(x)S dx = integral0^l 1S (sigma0 + (sigma1 - sigma0l) x) dx
Vamos simplificar a expressão no denominador:
sigma0 + (sigma1 - sigma0l) x = sigma0 + sigma1 - sigma0l x

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
R = 1S integral0^l 1sigma0 + (sigma1 - sigma0l) x dx
Fazendo a substituição u = sigma0 + (sigma1 - sigma0l) x, então du = sigma1 - sigma0l dx, e rearranjando, temos dx = lsigma1 - sigma0 du.
Substituindo na integral:
R = 1S cdot lsigma1 - sigma0 integralsigma0^sigma1 1u du
A integral de 1u du é ln|u|, então:
R = lS (sigma1 - sigma0) [ ln(sigma1) - ln(sigma0) ] = lS (sigma1 - sigma0) ln( sigma1sigma0 )

Resposta

A resistência total do cilindro é:
R = lS ( sigma1 - sigma0 ) ln( sigma1sigma0 )
Com a condição de que sigma1 > sigma0.

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