A condutividade elétrica
e dado em
de um cilindro de comprimento
e área de seção transversal
cresce linearmente com a distância, assumindo o valor
numa extremidade e
na outra. Calcule o valor da resistência total do cilindro.
Resposta:
com
Resposta:
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um cilindro com comprimento
e área de seção transversal
. A condutividade elétrica desse cilindro está aumentando de forma linear ao longo do comprimento: começa em
em uma extremidade e chega a
na outra. Nosso objetivo aqui é calcular a resistência total desse cilindro.
Matéria envolvida: Eletricidade, mais especificamente a relação entre condutividade elétrica e resistência.
O que vamos precisar: Entender como a condutividade varia ao longo do cilindro e aplicar a integração para encontrar a resistência total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica
de um material é dada pela fórmula:
onde:
-
é a resistividade elétrica (que é o inverso da condutividade, ou seja, ), -
é o comprimento, -
é a área da seção transversal.
No nosso caso, a condutividade
não é constante, ela varia linearmente de
para
ao longo do comprimento
do cilindro. Portanto, precisamos adaptar nossa abordagem para levar essa variação em conta.
Passo 3
Como a condutividade está mudando ao longo do comprimento, a resistência não pode ser calculada simplesmente usando uma média ou um valor constante. Em vez disso, devemos considerar pequenos pedaços do cilindro onde a condutividade pode ser aproximada como constante.
Vamos imaginar que dividimos o cilindro em infinitos pequenos segmentos de comprimento
. Em cada segmento, a resistência diferencial
pode ser escrita como:
Aqui,
é a resistividade no ponto
do cilindro.
Passo 4
Como a condutividade varia linearmente, podemos expressar
como uma função de
. Sabendo que em
(uma extremidade) temos
e em
(a outra extremidade) temos
, a função linear é:
Portanto, a resistividade
será:
Passo 5
Agora, para encontrar a resistência total
, precisamos somar todas as resistências diferenciais
ao longo do comprimento
. Isso é feito através da integração:
Vamos simplificar a expressão no denominador:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
Fazendo a substituição
, então
, e rearranjando, temos
.
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Resposta
A resistência total do cilindro é:
Com a condição de que
.