Seja uma carga positiva
.
Calcule o fluxo do campo elétrico gerado por esta carga através de uma esfera imaginária de raio
. Mostre todos os passos, incluindo a integral.
Calcule o fluxo do campo elétrico gerado por esta carga através de uma esfera imaginária de raio
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma carga elétrica positiva
e precisa calcular o fluxo do campo elétrico que essa carga gera passando por uma esfera imaginária de raio
. Isso está ligado ao conteúdo de Eletrostática, especificamente à Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico e como aplicar a Lei de Gauss usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico (
) mede quantas linhas de campo elétrico passam através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento de área na superfície
.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos elétricos quando temos simetria adequada. A Lei de Gauss diz que:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana (nossa esfera imaginária) e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
No nosso caso, a esfera imaginária tem a carga
exatamente no centro dela. Então, a carga dentro da esfera
. Substituindo na Lei de Gauss:
Passo 5
Mas, para entender melhor, vamos ver como essa integral funciona. Como o campo elétrico gerado por uma carga pontual é radial e tem a mesma intensidade em todos os pontos da esfera, podemos simplificar a integral:
Onde
é a área da esfera.
Passo 6
Sabemos que o campo elétrico
gerado por uma carga
a uma distância
é dado por:
Substituindo esse valor na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo do campo elétrico gerado pela carga
através da esfera de raio
é:
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