Seja uma carga positiva q.
Calcule o fluxo do campo elétrico gerado por esta carga através de uma esfera imaginária de raio r. Mostre todos os passos, incluindo a integral.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma carga elétrica positiva e precisa calcular o fluxo do campo elétrico que essa carga gera passando por uma esfera imaginária de raio . Isso está ligado ao conteúdo de Eletrostática, especificamente à Lei de Gauss. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico e como aplicar a Lei de Gauss usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico ( PhiE = ointS E cdot dA ) mede quantas linhas de campo elétrico passam através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento de área na superfície .

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos elétricos quando temos simetria adequada. A Lei de Gauss diz que:
PhiE = qdentrovarepsilon0
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana (nossa esfera imaginária) e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

No nosso caso, a esfera imaginária tem a carga PhiE = qvarepsilon0 exatamente no centro dela. Então, a carga dentro da esfera . Substituindo na Lei de Gauss:

Passo 5

Mas, para entender melhor, vamos ver como essa integral funciona. Como o campo elétrico gerado por uma carga pontual é radial e tem a mesma intensidade em todos os pontos da esfera, podemos simplificar a integral:
PhiE = ointS E cdot dA = E ointS dA = E cdot 4pi r^2
Onde é a área da esfera.

Passo 6

Sabemos que o campo elétrico E = q4pi varepsilon0 r^2 gerado por uma carga PhiE = ( q4pi varepsilon0 r^2 ) cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 a uma distância é dado por:
Substituindo esse valor na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo elétrico gerado pela carga PhiE = qvarepsilon0 através da esfera de raio é:

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