As placas de um capacitor plano de capacitância
, preenchido com um dielétrico de constante dielétrica
, estão ligadas aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma diferença de potencial
. O dielétrico tem uma condutividade
, o que produz uma corrente de perda. (a) Calcule o valor da resistência elétrica
do dielétrico como função de
. (b) Mostre que o resultado do item anterior permanece válido para um capacitor com qualquer geometria.
Resposta: (a)
Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um capacitor plano com capacitância
, preenchido com um dielétrico que tem constante dielétrica
e condutividade
. Esse capacitor tá ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial
. A presença do dielétrico com condutividade faz com que role uma corrente de perda. Nosso objetivo aqui é calcular a resistência elétrica
do dielétrico em função de
e depois mostrar que esse resultado vale para qualquer tipo de capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância, dielétricos, corrente elétrica e resistência. Vamos também precisar lembrar das fórmulas que relacionam essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre corrente e resistência. Sabemos pela Lei de Ohm que
, onde
é a diferença de potencial,
é a corrente e
é a resistência. A gente quer expressar
em termos de
, então vamos precisar relacionar
com
.
Passo 3
Vamos considerar que a corrente de perda devido à condutividade do dielétrico é causada pela descarga do capacitor através do próprio dielétrico. A carga
armazenada no capacitor é dada por
. A taxa de variação dessa carga com o tempo é a corrente, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo
na expressão da corrente, temos:
Como
e
são constantes (a bateria mantém
constante), a derivada de
com relação ao tempo seria zero se não houvesse perdas. Mas por causa da condutividade
, há uma corrente de perda constante.
Passo 5
Agora vamos relacionar a corrente de perda com a resistência do dielétrico. Pela Lei de Ohm,
, então podemos escrever:
Precisamos expressar
em função de
para encontrar
em termos de
.
Passo 6
A corrente de perda no dielétrico pode ser relacionada à condutividade
e à geometria do capacitor. Para um dielétrico com constante dielétrica
, a capacitância é dada por:
onde
é a área das placas e
é a distância entre elas. A corrente de perda
é proporcional a
,
e
, e inversamente proporcional a
.
Passo 7
Relacionando todas as expressões, após alguns passos de manipulação matemática, chegamos à resistência
do dielétrico:
Resposta
(a)
Exercícios relacionados
Quando uma diferença de potencial de 115 V é aplicada nas extremidades de um fio de 10 m de comprimento com um raio de
, o módulo da densidade de corrente é
. Determine o valor da resistividade elétrica do fio. Qual seria o possível material deste fio?
Resposta: .
Resposta:
A condutividade elétrica
e dado em
de um cilindro de comprimento
e área de seção transversal
cresce linearmente com a distância, assumindo o valor
numa extremidade e
na outra. Calcule o valor da resistência total do cilindro.
Resposta: com
Resposta:
Demonstre as equações
e
. A relação entre resistência e resistividade é dada por
, em que
.
Duas esferas condutoras idênticas, possuindo cargas de sinais opostos, atraem uma à outra com uma força de
quando separadas por 150 cm . As esferas são repentinamente unidas por um o condutor delgado, que, em seguida, é removido, e logo depois as esferas repelem-se mutuamente com a força de
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(2,0 pontos) Done