As placas de um capacitor plano de capacitância , preenchido com um dielétrico de constante dielétrica , estão ligadas aos terminais de uma bateria, que mantém entre elas uma diferença de potencial . O dielétrico tem uma condutividade , o que produz uma corrente de perda. (a) Calcule o valor da resistência elétrica do dielétrico como função de . (b) Mostre que o resultado do item anterior permanece válido para um capacitor com qualquer geometria.
Resposta: (a)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um capacitor plano com capacitância , preenchido com um dielétrico que tem constante dielétrica e condutividade . Esse capacitor tá ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial . A presença do dielétrico com condutividade faz com que role uma corrente de perda. Nosso objetivo aqui é calcular a resistência elétrica do dielétrico em função de e depois mostrar que esse resultado vale para qualquer tipo de capacitor.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância, dielétricos, corrente elétrica e resistência. Vamos também precisar lembrar das fórmulas que relacionam essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre corrente e resistência. Sabemos pela Lei de Ohm que , onde é a diferença de potencial, é a corrente e é a resistência. A gente quer expressar em termos de , então vamos precisar relacionar com .

Passo 3

Vamos considerar que a corrente de perda devido à condutividade do dielétrico é causada pela descarga do capacitor através do próprio dielétrico. A carga armazenada no capacitor é dada por . A taxa de variação dessa carga com o tempo é a corrente, ou seja, .

Passo 4

Substituindo na expressão da corrente, temos:
Como e são constantes (a bateria mantém constante), a derivada de com relação ao tempo seria zero se não houvesse perdas. Mas por causa da condutividade , há uma corrente de perda constante.

Passo 5

Agora vamos relacionar a corrente de perda com a resistência do dielétrico. Pela Lei de Ohm, , então podemos escrever:
Precisamos expressar em função de para encontrar em termos de .

Passo 6

A corrente de perda no dielétrico pode ser relacionada à condutividade e à geometria do capacitor. Para um dielétrico com constante dielétrica , a capacitância é dada por:
onde é a área das placas e é a distância entre elas. A corrente de perda é proporcional a , e , e inversamente proporcional a .

Passo 7

Relacionando todas as expressões, após alguns passos de manipulação matemática, chegamos à resistência do dielétrico:

Resposta

(a)

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Resposta: .
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Resposta: com
Demonstre as equações e . A relação entre resistência e resistividade é dada por , em que .
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