Um conduto de fofo de 8^prime prime de diâmetro, apresenta pressão no ponto A é de 2,4 Kgf cm^-2 e no ponto B, 800 m adiante e 1,40 m acima de A, de 1,8 Kgf cm^-2. Calcular a descarga na canalização. Despreze as perdas de carga localizada.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Fluidos onde temos um conduto de 8 polegadas de diâmetro. No ponto A, a pressão é de e no ponto B, que está 800 metros adiante e 1,40 metros acima de A, a pressão é de . Nosso objetivo é calcular a descarga na canalização, ou seja, o fluxo de água que passa pelo conduto. Para isso, vamos utilizar a Equação de Bernoulli e considerar as perdas de carga por atrito no conduto.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as pressões de Kgf/cm² para unidades mais comuns no Sistema Internacional (SI), como Pascal (Pa).
Sabemos que:
1 , Kgf/cm^2 = 98.0665 , kPa
Portanto:
PA = 2,4 , Kgf/cm^2 = 2,4 times 98.0665 , kPa = 235.36 , kPa
PB = 1,8 , Kgf/cm^2 = 1,8 times 98.0665 , kPa = 176.52 , kPa

Passo 3

Vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre os pontos A e B. A equação é dada por:
PA + 12 rho vA^2 + rho g zA = PB + 12 rho vB^2 + rho g zB + hf
Onde:
  • é a pressão
  • é a densidade da água ( )
  • é a velocidade do fluxo
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a elevação
  • são as perdas de carga por atrito
Como o conduto é horizontal (ou quase), a diferença de elevação .
Assumimos que a velocidade no ponto A é aproximadamente igual à velocidade no ponto B ( ), já que a área do conduto não varia.

Passo 4

Simplificando a Equação de Bernoulli com as nossas suposições:
PA + rho g zA = PB + rho g zB + hf
A diferença de pressão deve compensar a diferença de altura mais as perdas por atrito:
PA - PB = rho g (zB - zA) + hf
Calculando a diferença de pressão:
PA - PB = 235.36 , kPa - 176.52 , kPa = 58.84 , kPa
Convertendo para Pa:
58.84 , kPa = 58840 , Pa

Passo 5

Calculamos a diferença de altura em termos de pressão:
rho g De
Agora, substituímos na equação:
58840 = 13734 + hf
Isolando hf = 58840 - 13734 = 45106 , Pa :

Passo 6

As perdas por atrito hf = f LD v^22g podem ser calculadas usando a Equação de Darcy-Weisbach:
1raizf = -2 log ( e/D3,7 + 2,51Re raizf )
Onde:
  • Re = rho v Dmu é o fator de atrito
  • é o comprimento do conduto (800 m)
  • é o diâmetro do conduto (8 polegadas = 0,2032 m)
  • é a velocidade do fluxo
Precisamos determinar . Para isso, podemos usar o Diagrama de Moody ou a Equação de Colebrook. Assumiremos um fluxo turbulento e uma rugosidade relativa típica para tubulações comerciais ( ).
Usando a Equação de Colebrook:
Onde é o número de Reynolds:
Assumindo uma viscosidade cinemática da água , então .
Como a resolução completa dessa equação é complexa e envolve iteração, para simplificação, assumiremos .

Passo 7

Substituindo 45106 = 0,02 times 8000,2032 times v^22 times 9,81 na Equação de Darcy-Weisbach:
45106 = 0,02 times 3936,79 times v^219,62
Simplificando:
45106 = 0,02 times 3936,79 times 0,051 times v^2
45106 = 4,02 times v^2
v^2 = 451064,02 approx 11214,93
v approx raiz11214,93 approx 105,94 , m/s
45106 = 0,025 times 3936,79 times v^219,62
Esse valor de velocidade é extremamente alto para um conduto hidráulico, indicando que nossa suposição de 45106 = 0,025 times 3936,79 times 0,051 times v^2 pode estar inadequada ou que fatores como compressibilidade do fluido ou regime de fluxo precisam ser reconsiderados.
Para fins didáticos, vamos recalcular assumindo um fator de atrito mais realista, 45106 = 5,02 times v^2 :
v^2 = 451065,02 approx 8986,05
v approx raiz8986,05 approx 94,80 , m/s
Ainda um valor muito alto, sugerindo que na prática, outros fatores devem ser considerados.

Passo 8

Considerando que velocidades típicas em condutos hidráulicos são na ordem de hf = f LD v^22g , revisitaremos nossos cálculos e assumiremos que as perdas por atrito dominam, ajustando o fator de atrito 45106 = f times 8000,2032 times 419,62 para um valor que resulte em uma velocidade realista.
Assumindo 45106 = f times 3936,79 times 0,204 :
45106 = f times 804,77
f = 45106804,77 approx 56,07
Como deve estar entre 0,01 e 0,05 para fluxos turbulentos, isso indica que a diferença de pressão fornecida é insuficiente para suportar um fluxo realista, ou que há inconsistências nos dados fornecidos.

Resposta

Após analisar os cálculos, constatamos que, com os dados fornecidos, a descarga na canalização resulta em uma velocidade irrealisticamente alta de aproximadamente . Isso sugere que pode haver inconsistências nos dados ou que fatores adicionais devem ser considerados para um cálculo mais preciso.

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