Dimensione uma tubulação de polietileno de 300 m de comprimento para operar um emissor na pressảo de 5 m e vazão de 3 m^3 h^-1, sabendo que a diferença de nivel entre o reservatório e o emissor é de 21 m . Desconsidere as perdas de carga localizada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para dimensionarmos uma tubulação de polietileno com 300 metros de comprimento, que vai operar um emissor a uma pressão de 5 metros de coluna d’água e uma vazão de . Além disso, sabemos que a diferença de nível entre o reservatório e o emissor é de 21 metros. Vamos precisar usar conceitos de hidráulica, especificamente relacionados a perda de carga e dimensionamento de tubulações. Para isso, vamos utilizar a equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a relacionar a perda de carga com o diâmetro da tubulação, o fluxo e o comprimento da tubulação.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema consistente. A vazão está em metros cúbicos por hora, então vamos convertê-la para metros cúbicos por segundo para facilitar os cálculos.
Q = 3 , m^3/h = 33600 , m^3/s = 0,000833 , m^3/s

Passo 3

Agora, vamos entender a relação entre a perda de carga e o diâmetro da tubulação. A equação de Darcy-Weisbach é:
De
Onde:
  • é a perda de carga (21 m),
  • é o fator de atrito,
  • é o comprimento da tubulação (300 m),
  • é o diâmetro da tubulação que queremos encontrar,
  • é a velocidade do fluxo,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

Precisamos relacionar a velocidade do fluxo Q = A cdot V com a vazão A = pi D^24 e o diâmetro V = 4Qpi D^2 . A fórmula da vazão é:
Onde é a área da seção transversal da tubulação:
Então,

Passo 5

Substituindo De na equação de Darcy-Weisbach:
De
Simplificando a expressão:
De
De

Passo 6

Queremos isolar o diâmetro D^5 = 8fLQ^2g pi^2 De. Reorganizando a equação:
D = ( 8fLQ^2g pi^2 De

Passo 7

Agora, precisamos determinar o fator de atrito D = ( 8 times 0,02 times 300 times (0,000833)^29,81 times pi^2 times 21 )^1/5 . Para simplificar, vamos assumir que o fluxo é turbulento e usar uma estimativa inicial para . Uma aproximação comum para tubulações lisas é . Vamos usar esse valor para continuar o cálculo.
Substituindo os valores:

Passo 8

Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o numerador:
8 times 0,02 times 300 times (0,000833)^2 = 8 times 0,02 times 300 times 0,000000694 = 0,000033333 , m^5/s^2
Em seguida, calcule o denominador:
9,81 times pi^2 times 21 approx 9,81 times 9,87 times 21 approx 2034,5
Agora, divida o numerador pelo denominador:
0,0000333332034,5 approx 1,637 times 10^-8
Por fim, tire a quinta raiz:
D = (1,637 times 10^-8)^1/5 approx 0,030 , m = 30 , mm

Resposta

O diâmetro necessário para a tubulação é de aproximadamente 30 mm.

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