Uma lâmina de corrente, K=6,0 a times A / m, está no plano z=0 e uma corrente filamentar (I) está localizada em y=0 e z=4 m. Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se H=0 em (0 ; 0 ; 1,5 m).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lâmina de corrente com densidade de corrente A/m no plano e uma corrente filamentar localizada em e m. A gente precisa descobrir qual é o valor dessa corrente e para que lado ela está indo, de modo que o campo magnético seja zero no ponto .
Vamos precisar usar conceitos de magnetostática, especificamente as leis que descrevem o campo magnético gerado por correntes contínuas e por correntes em fios. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte está fazendo:
  1. Lâmina de corrente ( ): Está no plano e tem densidade de corrente de na direção (já que geralmente representa o eixo ). Essa lâmina gera um campo magnético ao seu redor.
  2. Corrente filamentar ( ): Está localizada em e m. Ela também gera um campo magnético ao seu redor.
Nosso objetivo é calcular o campo magnético no ponto devido a essas duas fontes e ajustar de modo que a soma desses campos seja zero.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético gerado pela lâmina de corrente primeiro. Para uma lâmina infinita com densidade de corrente Hlâmina = K times n2 , o campo magnético Hlâmina = 6,0 a times k2 = 6,0 (a times k)2 â perpendicular à lâmina é dado por:
Hlâmina = 6,0 times (-j)2 = -3,0 j , A/m â
Onde é o vetor normal à lâmina. Como a lâmina está no plano e a densidade de corrente está na direção , é na direção .
â
Usando o produto vetorial :
â
Então, o campo magnético devido à lâmina é A/m.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo magnético gerado pela corrente filamentar Hfio = I2pi r phi no ponto Hfio = I2pi times 2,5 (-j) = I5pi (-j) .
Usamos a Lei de Biot-Savart para um fio retilíneo infinito:
Onde:
  • é a distância do fio até o ponto onde estamos calculando o campo.
  • é a direção do campo, que depende da orientação do fio e do ponto.
No nosso caso, o fio está em m e o ponto está em m, então a distância m.
Além disso, como o fio está no eixo e o ponto está diretamente abaixo dele, o campo magnético estará na direção , que, usando a regra da mão direita, será na direção se a corrente for positiva.
Portanto:

Passo 5

Agora, queremos que a soma dos campos magnéticos das duas fontes seja zero no ponto Hlâmina + Hfio = 0 :
-3,0 j + I5pi (-j) = 0 â
Substituindo os valores que encontramos:
-3,0 - I5pi = 0
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver para -3,0 - I5pi = 0 Rightarrow I5pi = -3,0 Rightarrow I = -3,0 times 5pi Rightarrow I = -15pi , A :

Resposta

A corrente filamentar I = -15pi , A é amperes, ou seja, tem sentido contrário à orientação considerada positiva.

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