Uma lâmina de corrente,
, está no plano
e uma corrente filamentar (I) está localizada em
. Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lâmina de corrente com densidade de corrente
A/m no plano
e uma corrente filamentar
localizada em
e
m. A gente precisa descobrir qual é o valor dessa corrente
e para que lado ela está indo, de modo que o campo magnético
seja zero no ponto
.
Vamos precisar usar conceitos de magnetostática, especificamente as leis que descrevem o campo magnético gerado por correntes contínuas e por correntes em fios. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte está fazendo:
-
Lâmina de corrente (
): Está no plano e tem densidade de corrente de na direção (já que geralmente representa o eixo ). Essa lâmina gera um campo magnético ao seu redor. -
Corrente filamentar (
): Está localizada em e m. Ela também gera um campo magnético ao seu redor.
Nosso objetivo é calcular o campo magnético no ponto
devido a essas duas fontes e ajustar
de modo que a soma desses campos seja zero.
Passo 3
Vamos calcular o campo magnético gerado pela lâmina de corrente primeiro. Para uma lâmina infinita com densidade de corrente
, o campo magnético
perpendicular à lâmina é dado por:
Onde
é o vetor normal à lâmina. Como a lâmina está no plano
e a densidade de corrente está na direção
,
é na direção
.
Usando o produto vetorial
:
Então, o campo magnético devido à lâmina é
A/m.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo magnético gerado pela corrente filamentar
no ponto
.
Usamos a Lei de Biot-Savart para um fio retilíneo infinito:
Onde:
-
é a distância do fio até o ponto onde estamos calculando o campo. -
é a direção do campo, que depende da orientação do fio e do ponto.
No nosso caso, o fio está em
m e o ponto está em
m, então a distância
m.
Além disso, como o fio está no eixo
e o ponto está diretamente abaixo dele, o campo magnético estará na direção
, que, usando a regra da mão direita, será na direção
se a corrente for positiva.
Portanto:
Passo 5
Agora, queremos que a soma dos campos magnéticos das duas fontes seja zero no ponto
:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Resposta
A corrente filamentar
é
amperes, ou seja, tem sentido contrário à orientação considerada positiva.